雪尔维斯特定理(Sylvester theorem)

平面上一有限点集M，过M中任意两点作直线，必过M中的另一点，则点集M中的所有点必在同一条直线上。

证明：假设点集M中有n个点，这n个点不全在同一直线上。过这n个点中的任意两点所确定的每条直线，都必然有不在此直线上的点，对这一条直线，求出n个点中不在这条直线的点到该直线的距离，这些距离的个数是有限的，所以，其中一定有一个最小的，设为d0 （0为下标，下同）。

如图，设d0是点A到B、C所确定的直线的距离。作AP⊥BC于P，则d0=AP。由题设，直线BC上还至少有这n点中的另一点E，显然B、C、E三点中至少有两点位于P点同侧，不妨设C、E在P点同侧，且PE≤PC（E可能与P重合），作EQ⊥AC于Q，记d1=EQ，应有d1≥d0。但△CEQ∽△CAP，所以(d1/d0)=(EQ/AP)=(CE/AC)≤(CP/AC)＜1，即d1＜d0，矛盾，即假设“这n个点不全在同一条直线上”不正确，所以点集M中的所有点必在同一条直线上。定理获证。

评注：雪尔维斯特定理的证明是成功应用反证法和极端原理（又叫极端化原则）的著名问题。雪尔维斯特定理是Sylvester在1893年提出的，但直到1933年，才有人给出证明。最初的证明不但用了高深的数学知识，而且极为繁锁。若干年后，才有人通过极端原理给出了一个初等证明，距问题的提出时间竟达半个世纪之久。由此我们可以看出极端原理的威力。