达布中值定理

达布中值定理的证明

达布中值定理的应用

达布中值定理

达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.

达布中值定理(Darboux)的其它表达形式：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.

达布中值定理（Darboux）的等价形式：设 f(x)在 [a,b]上可微，若在 [a,b]上f′(x)不等于0 ，则f′(x) 在[a,b] 上保持定号(恒正或恒负).

微分Darboux定理的推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值.

达布中值定理的证明

已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数g(x)=f(x)-ηx，若g(a)=g(b)则由罗尔中值定理，存在ε∈（a,b）使f'(ε)=0。否则不妨设g(a)>g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)，由介质定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。证毕

达布中值定理的应用

定理的应用:由于连续函数介值定理有广泛的应用,因此导函数介值定理(Darboux定理)与导函数商的介值定理(在不要求导函数连续的情况下)也有广泛的应用.以下仅通过曲线切线斜率问题看看导函数商的介值定理的应用.我们知道平面曲线的最一般表示形式是参数形式.设曲线参数方程为x=x(t),t∈[a,b]y=y(t),t∈[a,b]x(t),y(t)在[a,b]上可导,且x′(t)在[a,b]上不为零,则在x′(t)与y(t)未必连续情况下,曲线切线的斜率可取两端点切线斜率间任何值.事实上,曲线在任一点的切线斜率为y′(t)/x′(t),由导函数商的介值定理y′(t)/x′(t)可取y′(a)/x′(a)与y′(b)/x′(b)之间任何值,如果不用导函数商的介值定理,此结果很难证明.因为,参数方程确定的曲线未必总能化为显函数.即使能化为显函数,就具体曲线而言,化成的显函数的形式可能比较复杂,不利于研究它的性质.

此外,运用达布定理很容易看出,若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上至多存在振荡型间断点,而不可能存在第一类间断点和无穷型间断点.