在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特变换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特变换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。）

希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。

定义

希尔伯特变换定义如下：

其中

并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。

另外要指出的是：

若，则可被定义，且属于；其中<IMG class=tex alt=" 1<p。

频率响应

希尔伯特变换之频率响应由傅立叶变换给出：

, 其中

是傅立叶变换， i (有时写作j )是虚数单位， 是角频率，以及 0,\\\\ \\ \\ 0, & \\mbox{for } \\omega = 0,\\\\ -1, & \\mbox{for } \\omega 并常被称作signum函数。

既然：

, 希尔伯特变换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特变换