初等数论 是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

历史发展(古希腊 古代中国)

初等数论内容

代表人物(1.费马 2.欧拉 3.高斯)

历史发展

古希腊

古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。

初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式：

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。

（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)

其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (2)

例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。

k=3时,

---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

---------------------|---------|----------|--------|---------|

n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|

n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

------------------------------------------------------------

求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。

(六)用程序方法求素数。“若一个自然数N，判断N/n是否整除，先判断其能否整除2，若不能再判断其能否整除3，依次向下判断，当n>(N/n)时，判断结束。”如果所有判断都不能整除，则自然数N为素数。

公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。古代中国　公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。

古代中国

中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

初等数论内容

初等数论有以下几部分内容：

1.整除理论。 引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。 这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、 欧几里德 的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。

2.同余理论。 主要出自于高斯的《算术研究》内容。 定义了同余、原根、指数、平方剩余 、 同余方程等概念。 主要成果： 二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。

3. 连分数理论。 引入了连分数概念和算法等等。 特别是研究了整数平方根的连分数展开。 主要成果： 循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。

4. 不定方程。 主要研究了低次代数曲线对应的不定方程， 比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解问题等等。

5. 数论函数。 比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。

6.高斯函数

代表人物

1.费马

费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法， 引入了费马数等等。

与费马相关的著名结论如下：

费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数。

事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数。

费马大定理（当时是猜想）：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。

2.欧拉

引入欧拉函数， 得到著名的欧拉定理——费马小定理推广； 研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。

3.高斯

被誉为“数学王子” 。解决了正多边形尺规作图问题， 将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论， 讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。 高斯提出了著名的素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题——表示论的雏形。

高等学校数学教材初等数论（第二版）定　价：￥35.00

作　者：潘承洞，潘承彪　著

出 版 社：北京大学出版社

出版时间：2003-1-1

版　次：2

页　数：592

字　数：520000

印刷时间：2011-1-1

开　本：大32开

纸　张：胶版纸

印　次：9

I S B N：9787301060759

包　装：平装

内容简介

本书自1992年9月出版以来，已发行24000册，深受教师和学生的欢迎。在第二版中，本书作者根据10年来读者和本书编辑提出的宝贵意见，以及在教学实践中的体会，对本书内容做了进一步修改与完善（见第二版说明），使之更适宜于教学需要。

本书是大学初等数论课教材。全书共分九章。内容包括：整除，不定方程，同余，同余方程，指数与原根，连分数，素数分布的初等结果，数论函数等。书中配有较多的习题，书末附有提示与解答。?书积累了作者数十年教学与科研的经验，遵循少而精的原则，精心选材。为便于学生理想，对重点内容多侧面分析，从不同角度进行阐述。

作者简介　潘承洞，数学家，中科院院士。江苏苏州人。著作有《哥德巴赫猜想》（合著）、《阶的估计》等。

目录第二版说明

第一版序

符号说明

第一章　整除

1　自然数与整数

2　整除

3　带余数除法与辗转相除法

4　最大公约数理论

5　算术基本定理（A）

6　算术基本定理（B）

7　符号[X]，n！的分解式

8　容斥原理与3.14……（X）的计算公式

第二章　不定方程（I）

1　一次不定方程

3　X2+Y2=Z2

第三章　同余

1　同余

2　同余类与剩余系

3　（M）的性质与Fermat-Euler定理

4　Wlison　定理

第四章　同余方程

1　同余方程的基本概念

2　一次同余方程

3　一次同余方程组,孙子定理

4　一般同余方程的求解

5　横为素数的二次同余方程

6　Legendre符号,Gauss二次互反律

7　Jacbi符号

8　模为素数的高次同余方程

9　多元同余方程,Chevalley定理

第五章　指数与原根

1　指数

2　原根

3　指标、指?组与既约剩余系的构造

4　二项同余方程

第六章　不定方程（II）

……

第七章　连分数

第八章　素数分布的初等结果

第九章　数论函数

附录一　自然数

附录二　算术基本定理不成立的例子

附录三　初等数论的几个应用

附录四　国际数学奥林匹克竞赛中数论有关的题

习题的提示与解答