抽象群的一般概念

例题

练习

附注

抽象群的一般概念

一个集G，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：

①G中有一个闭合的结合法。这就是说，G中任意两元a，b的结合c仍然是G中元。结合法通常写成乘法，这时c又叫做a,b的积。一般用记号ab=c或a·b=c表示。要注意，积ab虽然是由a,b唯一决定的，但一般它还与a,b的顺序有关。即ab不一定等于ba。

②G的结合法满足结合律。也就是说，对于G中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。

③G中有一个（左）单位元e，对G中任意元a，有ea=a。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把e就叫做单位元。

④对于G中任意元a，在G中有一个满足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此处e就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。

例题

例题：设非空集合Z3表示这个数除以3后的余数，a◎b表示a+b除以3的余数，证明(Z3，◎)是一个群。

解：只要满足I～IV这4个条件即可。

Z3中只有3个元素：0，1，2

先列出乘法表：

0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

I：根据乘法表可以看出◎是一个二元运算。

II：根据乘法表得出0是运算◎的单位元。

III：根据乘法表得出0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。

IV：容易证明(a◎b)◎c=a◎(b◎c)

所以(Z3，◎)是一个群

练习

设非空集合K3表示这个数除以3后的小数部分的第一位，a◎b表示a+b除以3后的小数部分的第一位，证明(K3，◎)是一个群。

附注

①现代意义上的抽象群概念由法国天才数学家伽罗华（Eacute;variste Galois，1811-1832）最先建立起来。②群的定义有多种等价的表达形式，以这一种最为基本。

③一个非空集，若只满足上面的条件①，则称为乘集；若满足条件①②，则称为半群，这也是一个重要概念。

④若群的结合法还满足交换律：ab=ba，则称为交换群或阿贝耳（N.H.Abel，1802-1829）群。

⑤由一个元组成的群叫单位元群，元数是有穷的群叫有穷群，否则叫无穷群。群的元数记作|G|。