ashx=a^x-a^-x/2（a>0，a≠1）achx=a^x+a^-x/2athx=ashx/achxacthx=achx/ashxaehx=1/achxacehx=1/ashx

定义

共同性质(y=ash(x) y=ach(x) y=ath(x) y=acth(x) y=aeh(x) y=aceh(x). 恒等式)

公式(加减法公式 二倍角公式 德·莫佛公式 三倍角公式)

有关函数(反双曲拓展函数 导数 不定积分)

换双曲拓展函数

误区警示

定义

ashx=a^x-a^-x/2（a>0，a≠1）

achx=a^x+a^-x/2

athx=ashx/achx

acthx=achx/ashx

aehx=1/achx

acehx=1/ashx

共同性质

y=ash(x)

定义域：R。值域：R。奇函数。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增函数,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大。函数图像关于原点对称.。

y=ach(x)

定义域：R。值域：[1,+∞)。偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称.

y=ath(x)

定义域：R。值域：(-1,1)。奇函数。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线。其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间。lim<x->±∞>tanh(x)=±1

y=acth(x)

定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim<x->±∞>coth(x)=±(-1)

y=aeh(x)

定义域：R.值域：(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim<x->∞>aeh(x)=0.

y=aceh(x).

定义域：{x|x≠0}.值域：{y|y≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim<x->∞>aceh(x)=0.图像

恒等式

ach^2(x) - ash^2(x) ≡1 acth^2(x)-aceh^2(x)≡1 ath^2(x)+aeh^2(x)≡1

公式

加减法公式

ash(x±y) = ash(x) ach(y) ±ash(x)ach(y) ach(x+y) = ach(x) ash(y) ± ash(x) ach(y) ath(x+y) = [ath(x) ± ath(y)] / [1 ± ath(x) ath(y)] acth(x±y)=(1±acth(x) acth(y))/(acth(x) + acth(y))

二倍角公式

ash(2x) = 2 ach(x) ash(x)

ach(2x) = ach^2(x) + ash^2(x) =1+2ash^2x=1-2ach^2x

ath(2x) = 2ath(x)/(1+ath^2(x))

acth(2x) = (1+acth^2(x))/2acth(x)

德·莫佛公式

(ach(x)±ash(x))^n=ach(nx)±ash(nx)

三倍角公式

ash(3x) = 3 ash(x) + 4ash^3(x)

有关函数

反双曲拓展函数

反双曲拓展函数是双曲拓展函数的反函数. 它们的定义为:

b(ashx)=loga[x+(x^2-1)']

b(achx) = loga[x + (x^2 - 1)']

b(athx) =loga(1 - x^2)' / (1 - x)] = {ln[(1 + x) / (1 - x)]} / 2

b(acthx)= loga[(x^2 - 1) '/ (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2

b(acehx)= loga[1+t(x) (1 + x^2)' / x]

其中, x'=x的平方根,t(x）=1，x>0,-1,x<0

导数

(ashx)'=achx*lna

(achx)'=ashx*lna

（athx)=aeh^2(x) *ln^2a

(acthx)'=-csch^2(x) *ln^2a

(aehx)'=-aehxathx ln^2a

(acehx)'=-acehxacthxln^2a

不定积分

∫ash(x)dx=ach(x)/lna+c

∫ach(x)dx=ash(x)/lna+c

∫ath(x)dx=loga(achx)+c

∫coth(x)dx=loga|ashx|+c

∫aeh(x)dx=arctan(ashx)+c=2arctan(a^x)+c=2arctan(athx/2)+c2

∫aceh(x)dx=loga|acth(x)-aceh(x)|+c=ln|ath(x/2)|+c

∫b(achx)dx=b(ashx)+c

∫b(ashx)dx=t(x)b(ashx)+c

(t(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0)

换双曲拓展函数

我们把函数

xsha=x^a-x^-a/2

xcha=x^a+a^x/2

xtha=xsha/xcha

xctha=xcha/xsha

xeha=1/xcha

xceha=1/xsha

称为换双曲拓展函数

误区警示

（1）y=ashb。在双曲拓展函数中，b是自变量，a是常数；在换双曲拓展函数中，a是自变量，b是常数。不可弄混