词条 | 双曲扩展 |
释义 | ashx=a^x-a^-x/2(a>0,a≠1)achx=a^x+a^-x/2athx=ashx/achxacthx=achx/ashxaehx=1/achxacehx=1/ashx 定义ashx=a^x-a^-x/2(a>0,a≠1) achx=a^x+a^-x/2 athx=ashx/achx acthx=achx/ashx aehx=1/achx acehx=1/ashx 共同性质y=ash(x)定义域:R。值域:R。奇函数。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增函数,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大。函数图像关于原点对称.。 y=ach(x)定义域:R。值域:[1,+∞)。偶函数.函数图像是悬链线,最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称. y=ath(x)定义域:R。值域:(-1,1)。奇函数。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线。其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间。lim<x->±∞>tanh(x)=±1 y=acth(x)定义域:{x|x≠0}.值域:{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴,两水平渐近线为y=1和y=-1.lim<x->±∞>coth(x)=±(-1) y=aeh(x)定义域:R.值域:(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim<x->∞>aeh(x)=0. y=aceh(x).定义域:{x|x≠0}.值域:{y|y≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴,两水平渐近线为x轴.lim<x->∞>aceh(x)=0.图像 恒等式ach^2(x) - ash^2(x) ≡1 acth^2(x)-aceh^2(x)≡1 ath^2(x)+aeh^2(x)≡1 公式加减法公式ash(x±y) = ash(x) ach(y) ±ash(x)ach(y) ach(x+y) = ach(x) ash(y) ± ash(x) ach(y) ath(x+y) = [ath(x) ± ath(y)] / [1 ± ath(x) ath(y)] acth(x±y)=(1±acth(x) acth(y))/(acth(x) + acth(y)) 二倍角公式ash(2x) = 2 ach(x) ash(x) ach(2x) = ach^2(x) + ash^2(x) =1+2ash^2x=1-2ach^2x ath(2x) = 2ath(x)/(1+ath^2(x)) acth(2x) = (1+acth^2(x))/2acth(x) 德·莫佛公式(ach(x)±ash(x))^n=ach(nx)±ash(nx) 三倍角公式ash(3x) = 3 ash(x) + 4ash^3(x) 有关函数反双曲拓展函数反双曲拓展函数是双曲拓展函数的反函数. 它们的定义为: b(ashx)=loga[x+(x^2-1)'] b(achx) = loga[x + (x^2 - 1)'] b(athx) =loga(1 - x^2)' / (1 - x)] = {ln[(1 + x) / (1 - x)]} / 2 b(acthx)= loga[(x^2 - 1) '/ (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2 b(acehx)= loga[1+t(x) (1 + x^2)' / x] 其中, x'=x的平方根,t(x)=1,x>0,-1,x<0 导数(ashx)'=achx*lna (achx)'=ashx*lna (athx)=aeh^2(x) *ln^2a (acthx)'=-csch^2(x) *ln^2a (aehx)'=-aehxathx ln^2a (acehx)'=-acehxacthxln^2a 不定积分∫ash(x)dx=ach(x)/lna+c ∫ach(x)dx=ash(x)/lna+c ∫ath(x)dx=loga(achx)+c ∫coth(x)dx=loga|ashx|+c ∫aeh(x)dx=arctan(ashx)+c=2arctan(a^x)+c=2arctan(athx/2)+c2 ∫aceh(x)dx=loga|acth(x)-aceh(x)|+c=ln|ath(x/2)|+c ∫b(achx)dx=b(ashx)+c ∫b(ashx)dx=t(x)b(ashx)+c (t(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0) 换双曲拓展函数我们把函数 xsha=x^a-x^-a/2 xcha=x^a+a^x/2 xtha=xsha/xcha xctha=xcha/xsha xeha=1/xcha xceha=1/xsha 称为换双曲拓展函数 误区警示(1)y=ashb。在双曲拓展函数中,b是自变量,a是常数;在换双曲拓展函数中,a是自变量,b是常数。不可弄混 |
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