矢量空间

公理化定义(基本性质)

矢量空间

矢量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。矢量空间的一个直观模型是矢量几何，几何上的矢量及相关的运算即矢量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“矢量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中，“矢量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域F，一个矢量空间是个集合V 并规定两个运算：

矢量加法：V × V → V，把 V 中的两个元素v和w变为 V 中另一个元素，记作 v+w；

标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a 和 V 中的一个元素v变为 V 中的另一个元素，记作av。

这两个运算符合下列公理 (对F 中的任意元素 a、b 以及V 中的任意元素 u、v、w)：

矢量加法结合律：u+ (v + w) = (u + v) +w，

矢量加法交换律：v + w = w + v，

存在矢量加法的单位元：V 里存在一个叫做零矢量的元素，记作0，满足：∀ v ∈ V , v + 0 = v，

矢量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V, 使得 v + w = 0。

标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = av+aw.

标量乘法对域加法满足分配律：(a + b)v = av+bv.

标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) = (ab)v。

标量乘法有单位元：域 F 的乘法单位元1满足：∀ v，1v = v。

前四个公理是说明矢量V在矢量加法中是个交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是矢量之间的加法和标量之间的加法是不一样的，标量与矢量之间的乘法（标量乘法）和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，矢量空间是一个F-模。

V 中的元素叫作矢量，而F 中的元素叫作标量。

若F是实数域R，V称为实数矢量空间.

若F是复数域C，V称为复数矢量空间.

若F是有限域，V称为有限域矢量空间

对一般域F，V称为F-矢量空间

基本性质

以下是一些很容易从矢量空间公理推导出来的特性:

零矢量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.

a0 = 0 ∀ a ∈ F.

0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.

av = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.

可加的逆元矢量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.

(−1)v = −v ∀ v ∈ V.

(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.