求n个相同因数乘积的运算叫做乘方(power)。乘方算是一个三级运算。

乘方

同底数幂的法则

平方差公式

幂的乘方法则

积的乘方

平方差公式

完全平方公式

立方和公式

立方差公式

多项式平方公式

平方数的速算

习题

乘方

乘方的意义

一．乘方的意义、各部分名称及读写

在a^n中，相同的乘数a叫做底数(base number)，a的个数n叫做指数(exponent)，乘方运算的结果a^n叫做幂(念mì）。a^n读作a的n次方，如果把a^n看作乘方的结果，则读作a的n次幂。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。

每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次幂。如：8可以看作8^1。当指数是1时，通常省略不写。

运算顺序：先括号，再乘方，接乘除，尾加减。

1．相同乘数相乘的积用乘方表示

2．根据乘方的意义计算出答案

1）9^4； 2）0^6。

9^4=9×9×9×9=6561

可以看出0^n=0（n为正数）

P.S: n^0=1（n≠0）

4．区别易混的概念

1）8^3与8×3； 2) 5×2与5^2； 3）4×5^2与（4×5）^2。

5.计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化为p/q（即分数）的形式，那么任何一个数n的p/q次方就等于n的p次方再开q次根号

同底数幂的法则

同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。用字母表示为：

a^m×a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m－n) （m、n均为自然数）

1）15^2×15^3； 2）3^2×3^4×3^8； 3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90

1）15^2×15^3=15^(2+3)=15^5

2）3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14

3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095

平方差公式

两数和减两数差等于他们的平方差。用字母表示为：

（a+b）*（a-b)=a^2-b^2

幂的乘方法则

a^m又叫做幂，如果把a^m看作是底数，那么它的n次方就可以表示为（a^m）^n。这就叫做幂的乘方。我们先来计算（a^3）^4。

把a^3看作是底数，根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出：

（a^3）^4=a^3×a^3×a^3×a^3=a^(3+3+3+3)=a^(3×4)=a^12 即：（a^3）^4=a^(3×4)

同样，（a^2）^5=a^2×a^2×a^2×a^2×a^2=a^(2+2+2+2+2)=a^(2×5)=a^10 即：（a^2）^5=a^(2×5)

由以上例子可知，幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为：（a^m）^n=a^(m×n)

（x^4）^2； （a^2）^4×（a^3）^5

(x^4)^2=x^(4×2)=x^8

(a^2)^4×(a^3)^5=a^(2×4)×a^(3×5)=a^8×a^15=a^(8+15)=a^23

积的乘方

积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为：（a×b）^n=a^n×b^n

这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：

（a×b×c）^n=a^n×b^n×c^n

aM次方与aN次方相乘，（M，N为正整数）

自主探究：

将式子反转后也可称为“同指数幂乘法”

即：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。a^n*b^n=（ab）^n

平方差公式

（初中教材）

两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。用字母表示为：

（a+b）×（a－b）=a^2－b^2

这个公式叫做平方差公式。利用这个公式，可以使一些计算变得简便。

例 用简便方法计算104×96。

解：原式=（100+4）×（100－4）=100^2－4^2=10000－16=9984

例：已知a =2，a =3，求a 的值。

解析, 根据积的乘方，幂的乘方的逆运算a =(a ) ·a =2 ·3=12

完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。用字母表示为：

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2或（a－b）^2=a^2－2ab+b^2

上面这两个公式叫做完全平方公式。应用完全平方公式，可以使一些乘方计算变得简便。

例 计算下面各题：　1）105^2； 2）196^2。

1）105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025

2）196^2=(200-4)^2=200^2-2×200×4+4^2=40000-1600+16=38416

立方和公式

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差公式

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

多项式平方公式

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

平方数的速算

有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

1．求由n个1组成的数的平方

我们观察下面的例子。

1^2=1

11^2=121

111^2=12321

1111^2=1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

……

由以上例子可以看出这样一个规律；求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：

11…1^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321

n个1

注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

2．由n个3组成的数的平方

我们仍观察具体实例：

3^2=9

33^2=1089

333^2=110889

3333^2=11108889

33333^2=1111088889

由此可知：

33…3^2 = 11…11 0 88…88 9

n个3 (n-1)个1 (n-1)个8

3．个位数字是5的数的平方

把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；（10a+5）^2的形式。根据完全平方式推导；

（10a+5）^2=（10a）^2+2×10a×5+5^2

=100a^2+100a+25

=100a×（a+1）+25

=a×（a+1）×100+25

由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

例 计算 1）45^2； 2）115^2。

解：1）原式=4×（4+1）×100+25 2）原式=11×（11+1）×100+25

=2000+25 =11×12×100+25

=2025 =13200+25

=13225

4．同指数幂的乘法

a^2×b^2是同指数的幂相乘，可以写成下面形式：

a^2×b^2=a×a×b×b=（a×b）×（a×b）=（a×b）^2

由此可知：同指数幂的乘法，等于底数的乘积做底数，指数不变。根据这个法则可以使计算简便。如：　2^2×5^2=（2×5）^2=10^2=100

2^3×5^3=（2×5）^3=10^3=1000 2^4×5^4=（2×5）^4=10^4=10000

根据上面算式，可以得出这样一个结论：

a^m×b^m=(a×b)^m

习题

1．根据乘方的意义计算下面各题：

1）8^3 2）1^10 3）0^4 4）2^50

8^3=8×8×8=512

1^10=1×1×1×1×1×1×1×1×1×1=1

0^4=0×0×0×0=0

2^50=2×2×2×…×2×2

50个2

2．下面各对算式中的两个算式是不是一样？为什么？

1）5^2与5×2； 2）5^3与3^5； 3）2×3^4与（2×3）^4。

不一样，5^2=5×5

不一样，5^3=5×5×5，3^5=3×3×3×3×3

不一样，(2×3)^4=2^4×3^4

3．计算下面各题：

4^3×4^4 3^2×3^3×3^4 8^5÷8^3 36^4÷36 （9^2）^3 （a^3）^5

=4^7 =3^9 =8^2=64 =36^3 =9^6 =a^15

103×97 108^2 16^2

=(100+3)(100-3) =100^2+2×100×8+8^2 =10^2+2×10×6+6^2

=100^2-3^2 =10000+1600+64 =100+120+36

=10000-9 =11664 =256

=9991

4．计算：2^7×5^7；

=(2×5)^7=10^7