做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法。 和加法原理是数学概率方面的基本原理。

数学描述

证明

例题(例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7)

练习十八

例1、求取矩形的面积。

对于矩形，长、宽可以看做分别在二维空间的两个维内，且两个维相互正交，如果缺少长、宽中任何一个，矩形面积就失去意义，则矩形面积与长、宽的关系为：面积=长x宽。

例2、求取矩形的周长。

对于矩形的周长，长、宽虽然在二维空间的两个维内，且两个维相互正交，但是如果缺少长、宽中任何一个，周长仍然有意义（还是长度，只是不完整），则周长与长、宽的关系为：周长=长+宽+长+宽。

例3、现有4筐苹果，每筐20千克，求总共苹果（W）有多少千克？

用加法解答如下：W=20+20+20+20=80(千克)，其含义为4筐苹果的重量之和。因为W与各筐苹果之间存在直接正比关系，缺少任何一筐苹果，W仍然是苹果的重量。此处20千克含义为“一筐苹果的重量）

用乘法解答如下：W=20X4=80（千克），其含义为每筐苹果的重量与筐的数量乘积。因为W与自变量“每筐苹果的重量”与“筐的数量”之间都存在直接正比关系，自变量“每筐苹果的重量”与“筐的数量”是不同的质，缺少“每筐苹果的重量”或者“筐的数量”W都无意义，所以用乘法表示。此处20千克的含义为“每筐苹果的重量”。

数学描述

令S是元素的序偶(a，b)，其中第一个元素a来自大小为p的一个集合，而对于a的每个选择，元素b存在q种选择。于是，S的大小为p×q，即|S|=p×q。乘法原理的第二种形式是：如果第一项任务有p个结果，而不论第一项任务的结果如何，第二项任务有q个结果，那么，这两项任务连续执行就有p×q个结果。

证明

乘法原理是加法原理的一个推论，令a1，a2，…，ap是对元素a的p个不同的选择。将S划分成部分S1，S2，…，Sp，其中Si是S内第一个元素为ai(i=1，2，…，p)的有序偶的集合。每个Si的大小为q，因此由加法有|S|=|S1|+|S2|+…+|Sp|=q+q+…+q(p个q)=p×q

上述推导用到了整数的乘法就是重复的加法这一事实。

例题

例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：

am，at，bm，bt，cm，ct．点击此处添加图片说明

下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．

例1

利用数字1，2，3，4，5共可组成

(1)多少个数字不重复的三位数？

(2)多少个数字不重复的三位偶数？

(3)多少个数字不重复的偶数？

解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有

5×4×3=60

个数字不重复的三位数．

(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有

2×4×3=24

个数字不重复的三位偶数．

(3)分为5种情况：

一位偶数，只有两个：2和4．

二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．

三位偶数由上述(2)中求得为24个．

四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．

五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．

由加法原理，偶数的个数共有

2+8+24+48+48=130．

例2

从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？

解法1 将符合要求的自然数分为以下三类：

(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．

(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9 8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．

(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有

2×9×9=162个．

因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有

8+72+162=242个．

解法2 将0到299的整数都看成三位数，其中数字3

不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有

3×9×9-1=242(个)．

例3

在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？

解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．

先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为

9×9×9×9=6561，

所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6561，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6561=3438个．

例4

求正整数1400的正因数的个数．

解 因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积

1400=23527

所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：

(1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种；

(2)取52的正因数是50，51，52，共2+1种；

(3)取7的正因数是70，71，共1+1种．

所以1400的正因数个数为

(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

说明 利用本题的方法，可得如下结果：

若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数

的不同的正因数的个数是

(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．

例5

求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．

+a5能被3整除，

于是分别讨论如下：

(1)从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有

3×10×10×10=3000(个)．

(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有

3×10×10×9=2700(个)．

(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有

3×10×9×9=2430(个)．

(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有

3×9×9×9=2187(个)．

(5)a1=6，被3整除的数应有

3×9×9×9=2187(个)．

根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有

3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．

例6

如图1－63，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色．如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？

解 对这五个区域，我们分五步依次给予着色：

(1)区域A共有5种着色方式；

(2)区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；

(3)区域C因不能与区域A，B同色，故共有3种着色方式；

(4)区域D因不能与区域A，C同色，故共有3种着色方式；

(5)区域E因不能与区域A，C，D同色，故共有2种着色方式．

于是，根据乘法原理共有

5×4×3×3×2=360

种不同的着色方式．

例7

在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图1－64，有多少种不同的剪法？

解 我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头．

凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的．于是，边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个．

第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有

4×(4×4)=64(个)．

由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法．

练习十八

1．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．

(1)化学不放在第1位，共有多少种不同排法？

(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？

(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？

(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？

2．在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？

3．用1，2，3，4，5，6，7这七个数，

(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数？

(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1不在百位上？

4．从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？

5．由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数？

6．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？

7．将三封信投到5个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？

8．从字母a，a，a，b，c，d，e中任选3个排成一行，共有多少种不同的排法？