乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用.公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。

乘法公式(什么叫乘法公式 基本公式)

公式推广(公式的推广 公式的变形及其逆运算 1、平方差公式 2、平方差公式的特征 3、完全平方公式 4、完全平方公式的特征 5、乘法公式的主要变式 计算：)

乘法公式

什么叫乘法公式

1. 公式的应用不仅可从左到右的顺用(多项式乘法),还可以由右向左逆用(因式分解).

要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。

基本公式

2. 基本公式就是最常用,最基础的公式,可以由此而推导出其它公式.

完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，

平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2，

立方和(差)公式:(a±b)(a^2+ab+b^2)=a^3±b^3，

完全立方公式：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2;±b^3，

三数和平方公式：（a+b+c）^2;=a^2;+b^2;+c^2+2ab+2ac+2bc，

欧拉公式：（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=a^3+b^3+c^3-3abc

公式推广

公式的推广

①多项式平方公式:(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。

即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。

②二项式定理:(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3，

(a±b)^4=a^4±4a^3b+6a^2b^2±4ab^3+b^4，

(a±b)^5=a^5±5a^4b+10a^3b^2 ±10a^2b^3+5ab^4±b^5，

…………

（a+b）

=a^n+Cn1*a^(n-1)*b+Cn2*a^(n-2)*b……2+……+Cn(n-1)*a*b^(n-1)+b^n.

注意观察右边展开式的项数，指数，系数，符号的规律，见杨辉三角。

③由平方差,立方和(差)公式引申的公式

(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=a^4-^b^4，

(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b4)=a^5+b^5，

(a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5)=a^6-b^6，

…………

注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。

在正整数指数的条件下,可归纳如下：设n为正整数

⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n，

⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1，

类似地：

⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn。

公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。

由公式的推广可知：当n为正整数时，an-bn能被a-b整除；

a2n+1+b2n+1能被a+b整除； a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

乙 例题

例1.己知:x+y=a, xy=b 。

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求:①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5.

解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;

②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;

③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2;

④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]

=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]

=a5-5a3b+5ab2.

例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方.

证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3. (a为整数)

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

=(a2+3a+1)2。

∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数。 ∴a2+3a+1是整数。

例3.求证:2^222+3^111能被7整除。　证明:2^222+3^111=( 2×2)^111+3^111=4^111+3^111。

∵a^(2n+1)+b^(2n+1)能被a+b整除,(见内容提要4)

∴4^111+3^111能被 4+3整除。

∴2^222+3^111能被7整除。

(扩展) 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数

如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2

则有如下公式：

x%m=( x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m

其中%表示求余数的符号

公式证明

依据余数的两个定理

(m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）

(m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）

则 x%m

= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m

= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m

= (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m

= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m

所以公式得证

例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。

解:∵(10a+5)^2=100a^2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25。

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：

幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数

字a乘以(a+1)的积。

例如:15^2=225, 幂的百位上的数字2=1×2；

25^2=625, 6=2×3；

35^2=1225, 12=3×4；

……

105^2=11025, 110=10×11。

1、平方差公式

由多项式乘法得到 (a+b)(a－b) =a²－b².即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

2、平方差公式的特征

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．

3、完全平方公式

由多项式乘法得到（a±b）^2=a^2±2ab+b^2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.推广形式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

4、完全平方公式的特征

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2与(a－b)^2=a^2－2ab+b^2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．

①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．　②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．

③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．

④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.

5、乘法公式的主要变式

(1)a2－b2=(a+b)(a－b);

(2)(a+b)2－(a－b)2=4ab;

（3）(a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2)；

（4）a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab

（5）a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

（6）a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+.....+a+1)

熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．

注意：

(1)公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.

(2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.

(3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.

计算：

(1)(3a+2b)(2b－3a);(2)(x－2y)(－x－2y);(3)(a+b+c)(a－b－c)分析：

相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.

第(1)题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.

第(2)题可以按第(1)题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.

第(3)题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.

解：

(1)原式=(2b +3a)(2b－3a)

=(2b)^2－(3a)^2

=4b^2－9a^2

(2)原式=(－2y+x)(－2y－x)

=(－2y)^2－x^2

=4y2－x2

(3)原式=[a+(b+c)][a－(b+c)]

=a^2－(b+c)^2

=a^2－(b^2+2bc+c^2)

=a^2－b^2－2bc－c^2

(1)98×102；(2)99×101×10001.

分析：

将98写成100－2，102写成100+2，第(1)题即能用平方差公式计算；同理将99写成100－1，101写成100+1，第(2)题也可用平方差公式计算：

解：

(1)98×102=(100－2)(100+2)

=10000－4=9996

(2)99×101×10001=(100－1)(100+1)×10001

=(10000－1)(10000+1)

=100000000－1=99999999