卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数例。由比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）命名。卡塔兰数的一般公式为 C(2n,n)/（n+1）。

加泰罗尼亚(加泰罗尼亚语 加泰罗尼亚文化)

卡塔兰数(性质 应用)

加泰罗尼亚

加泰罗尼亚（Catalan），一译“卡塔卢尼亚”。西班牙一自治区和历史地理区。也是历史上包括了西班牙东北部的赫罗那（Girona）、巴塞罗那（Barcelona)、塔拉戈那（Tarragona）、莱里达（Lérida）的区域。

加泰罗尼亚语

在西班牙形成之前，加泰罗尼亚是一个拥有白人议会的独立国家。公元4-5世纪期间，发展成为地中海商业强国，并因此衍生出商人阶层、银行系统以及同西班牙其他大多数地区的封建制度迥然不同的社会制度。

加泰罗尼亚语源自罗马占领时期遗留的罗马语系的一种，接近于法国南部普罗旺斯语。官方对它的定义是，它并非是一种方言或者几种语言的融合，而是一种独立的拥有悠久历史和文化积淀的语言。因为它有自己的语音和文字，因此加泰罗尼亚语还有属于自己的文学。

加泰罗尼亚文化

回顾历史，我们会发现，加泰罗尼亚的文化总是随着该地区的政治命运而波动不定。12世纪，加泰罗尼亚并入阿拉贡王国。当阿拉贡国王费尔南多二世和卡斯蒂利亚女王伊莎贝拉一世于1469年结婚时，它又并入了西班牙王国。从此，拥有了数世纪的古老特权和机构在此后的300多年间，被卡斯蒂利亚中央集权一再镇压，最著名的一次是1714年，当时西班牙新加冕的国王腓力五世，即法国路易十四的孙子，军事管制巴塞罗那，并废除了当地的自治特权。19世纪，加泰罗尼亚工业繁荣发展孕育了新的独立运动和加泰罗尼亚民族主义的复兴。但1939年，最后一次独立运动也被佛朗哥在西班牙的内战中粉碎了。1975年，佛朗哥死后，加泰罗尼亚开展了壮观的文化复兴运动。被禁36年的加泰罗尼亚语，再一次纳入学校课程，出版成书报，并被接受为官方共同语言。同时还出现了加泰罗尼亚广播、电视和电影。巴塞罗那奥运会成为这场新文化黄金时代的高潮，自1992年以来，加泰罗尼亚及语言继续繁荣发展。

卡塔兰数

性质

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;

还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

卡 塔兰数例的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

应用

我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数分析问题。

我总结了一下，最典型的三类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

1.括号化问题。

矩阵链乘： P=a0×a1×a2×a3×……×an，共有（n+1）项，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

类似题目：有N个节点的二叉树共有多少种情形？

2.出栈次序问题。

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似题目：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

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形如这样的直角三角形网格，从左上角开始，只能向右走和向下走，问总共有多少种走法？

问题的由来：编号为 1 到 n 的 n 个元素，顺序的进入一个栈，则可能的出栈序列有多少种？

对问题的转化与思考：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。

一个模型：一个 n*n 的正方形网格，从左上角顶点到右下角顶点，只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的出栈，向下走对应上述问题的进栈，那么，可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题，只要在总共从左上角到右下角的2n步中，选定向右走的步数，即共有C(n 2n)中走法。

但是存在一个问题，如果走法越过了对角线，那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多，这是不符合实际的。

对以上模型进行处理，对角线将以上正方形网格分成两部分，只留下包含对角线在内的下半部分，那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。

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问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）

不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。

不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。

不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。

此 后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个1和n+1个0组成的一个排列。

反过来，任何一个 由n+1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

用上述方法建立了由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

例如 10100101

是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。

反过来 10100010

对应于 10100101

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有

P2n = C（n 2n）— C（n+1 2n）

这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan

3.将多边行划分为三角形问题。

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似题目：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似题目：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?