词条 | 三正弦定理 |
释义 | 定理概述设二面角M-AB-N的度数为α,在平面M上有一条射线AC,它和棱AB所成角为β,和平面N所成的角为γ,则sinγ=sinα·sinβ(如图) 该定理从老版高中教材人教版《数学》必修第二册(下A),P35的例1:“河堤斜面与水平面所成的二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚水平线AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走10m时人升高了多少?”抽象出来的一般结论. 定理证明如上图,过C作CO⊥平面N于点O,过O作直线OB⊥二面角的棱于点B,连OA,CB,则易知△CAO,△CBO,△ABC均为直角三角形. 于是,sinγ=CO︰AC,sinα=sin∠CBO=CO︰BC, sinβ=sin∠BAC=BC︰AC. 由此容易推得sinγ=sinα·sinβ 定理应用如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来,用于解答立体几何综合题,你会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线! 例1 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点,若AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2,BC=3.P为斜边AB上一点,现沿CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B(如下图),当AB=√7时,求二面角P-AC-B大小.(上海市1986年高考试题,难度系数0.28) |
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