恒等式内容

艾萨克牛顿

n=2时简单证明(2）的证明： （3）的证明：)

恒等式应用(证明韦达定理 其他有用推论)

概述

对于n次多项式F(X)=C0X^n+C1X^n-1+……+C（n-1）X^1+C（n）.C0≠0,有著名的牛顿恒等式。他是n次方程F(X)=0的n个根X1、X2、X3、……Xn的同次幂的和与F(X)的函数之间关系的明确表述。】

恒等式内容

牛顿恒等式叙述如下：

设F(X)=0的n个根X1，X2，……，Xn.对于k∈N,记Sk=X1^k+X2^k+……+Xn^k.则有

C0Sk+C1Sk-1+……+C（n）Sk-n=0 ，当k＞0 (N1)

C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

艾萨克牛顿

艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“

牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。

数学方面牛顿也贡献颇多，以他和莱布尼兹共同发明的微积分最为重要。除此以外，他还发现了了二项式展开定理、牛顿恒等式等重要定理。

n=2时简单证明

对于一元二次方程，即：

F(X)=ax^2+bx+c=0,a≠0. (1）

　此时，牛顿恒等式为：

牛顿恒等式，设X1,X2为方程两根，对于k∈N,记Sk=x1^k+x2^k,则有

aSk+bSk-1+cSk-2=0,k＞2 (2)

aS1+b=0,aS2+bS1+2c=0 (3)

　下面是2，3式的证明：

2）的证明：

由于x1,x2为方程二根，

易得ax1^2+bx+c=0,ax2^2+bx2+c=0

当k＞2时，分别以x1^(k-2)和x2^(k-2)乘上这两个式子，得

ax1^k+bx1^(k-1)+cx1^(k-2)=0

ax2^k+bx2^(k-1)+cx2^(k-2)=0 (4)

　相加（4）式，即可得（2）

（3）的证明：

由韦达定理：S1=x1+x2=-b/a,所以aS1+b=0,即（3）一式成立，

S1^2=(x1+x2)^2=x1^2+x2^2+2x1x2=S2+2c/a

又因为S1=-b/a,

所以-b/aS1=S2+2c/a,

即aS2+bS1+2c=0，即（3）二式成立

对于n＞2其他情况，可以类比（2）（3）式加以证明

恒等式应用

证明韦达定理

由（3）式证明即可以看出：通过韦达定理既然可以推出（3）式，那么牛顿恒等式（3）式与韦达定理是等价的。通过逆推就可以证明韦达定理的正确性。

其他有用推论

1，通过方程1系数a，b，c，即可逐个确定s1,s2,s3……

2， 如a=1，b，c∈Z，则Sk∈Z,k=1,2,3……

3，通过牛顿恒等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知Sk的奇偶性。