分析力学中的能量和哈密顿量

能量和哈密顿量的正定性

能量正定性的意义

物理体系可能的能量恒为正的性质，叫做能量正定性

分析力学中的能量和哈密顿量

在分析力学中，能量就是哈密顿量。哈密顿量的形式直接决定了体系的动力学性质。

能量和哈密顿量的正定性

能量的绝对大小是没有意义的，有意义的是能量的相对大小。哈密顿量加一常数或者减一个常数体系的性质不变。因此，只要体系可能带有的能量有下界，那么就总能通过给哈密顿量加一个常数的方法使得可能的能量大于零。但是如能量没有下界，那么就不可能通过加一个常数的办法使得能量恒大于零。联系热力学第二定律，能量总会从温度高的地方流到温度低的地方。如果某个物理体系的能量没有下界，那么他就会作为一个高温物体源源不断地释放能量而不会衰竭。现实中没有观察到这样的物体，因此物理学要求体系能量具有正定的性质。

能量正定性的意义

能量正定性使得物理学中可能存在的理论受到极大地限制。就分析力学而言，能量正定性要求哈密顿量最多只依赖于广义坐标对时间的一阶导数，不能含有对时间的高阶导数。这导致体系的初始状态只由坐标和速度就可以确定而不需要知道更高阶的诸如加速度这样的量。考察大家熟悉的大量动力学体系可以发现，加速度往往是有力决定的，而力又由物体相对位置等坐标量决定。在动力学体系中，加速度不是一个独立的量，这就是能量正定性要求带来的后果。