| 词条 | 幂平均值不等式 |
| 释义 | 一般形式设ai>0(1≤i≤n),且α>β， 则有：（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立 当且仅当a1=a2=a3=……=an 时取等号。 加权形式设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β， 则有：（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β 当且仅当a1=a2=a3=……=an 时取等号。 证明简述第一，琴生不等式(即上下凸性，或是说二次求导得) 第二，取辅助函数F(X)=X^a 这个证明很多本竞赛书上都有，比如奥赛经典高二的那本,但是没有证明过程. 据我所知几年以前的竞赛书上都只介绍结论,但不给出证明.原因是什么呢?因为证明要用到二阶导数来判断幂函数的凸性,还要用到琴生不等式.而老教材中导数还没有进入教学内容.不证明幂平均不等式是不得已的事. |
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