超实数(surreal numbers)是一个包含实数以及无穷大和无穷小数的域，它们的绝对值分别大于和小于任何正实数。把构造限制于Grothendieck宇宙，可以得到一个集合而不是一个类，这样就有一个有强不可及基数的真正的域。

超实数的定义和构造归功于John Conway，这显示了Conway的有特色的才智和首创性。它们在Donald Knuth1974年的书Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness(超实数:两个以前的学生如何喜欢上纯数学并发现完全的幸福中有介绍。该书是一本数学小说，作为少见的新数学思想在小说中初次出现的一例而著称。该书采用对话形式，在他的书中，Knuth创造了超实数一词，Conway起先直接称为数。Conway喜欢这个新名字，后来自己也采用了这个词。然后Conway在他1976年的书关于数和博弈(On Numbers and Games)中描述超实数并将之用于分析博弈。

康韦说：“假定有两条规则，他们产生一切大小的数。第一条规则应是：每个数对应于先前创造的数所构成的两个集，使得左集的元中没有一个大于或等于右集的任意元。而第二条规则应是：一个数小于或等于另一个数，当且仅当第一个数的左集没有任何元大于或等于第二个数，而第二个数的右集没有任何元小于或等于第一个数。”康韦还检验了它所制定的这两条规则，你瞧！它们很好。

根据这种方法，可以给出1和-1：

1=﹛øl0﹜ -1=﹛0lø﹜

正数N： ﹛Nlø﹜=N+1

而对于负数，则有： -N—1=﹛øl-N﹜

对于无穷大，则有： inf=﹛0,1,2,3,…lø﹜，接着把inf放入右边的位置，于是我们得到无穷大减去一的一个独特定义：一个小于无穷大的无限数！ inf—1=﹛0,1,2,3,…linf﹜

还有：1/inf=﹛0l1/2,1/4,1/8,1/16,…﹜这些独特的量中的无论哪个，以前的数学家都未曾定义过。