自然数集的性质(简介 理论框架中的地位 意义)

其他含义

自然数集的性质

简介

良序原理指出，自然数集的每个非空子集都有个最小元素，即自然数在其标准的大小关系下构成一良序集。

理论框架中的地位

在定义了自然数的大多数理论框架中，良序原理或者是其中一条公理，或者是一条可证的定理。

在皮亚诺算术系统、二阶算术系统和其他一些相关的系统中，良序定理可以由归纳公理导出，而后者本身被看作基本公理。

在将自然数集看成实数集的一个子集时，若假定已知实数集是完备的（作为一条公理或定理），即其每个有下界的子集都有个最大下界，那么每个自然数的子集A（有下界0）也必然有个最大下界a*。由此可以找到一个整数n*使得a*∈(n*-1,n*]，之后可证必有a*=n*，且n*∈A。

在公理集合论中，自然数集定义为最小的归纳集合（包含0且包含本身中每个元素的后继的集合），可以证明，所有满足{0,...,n}为良序集的n组成的集合是一个归纳集合，从而是自然数集本身。由此可以推出自然数集本身也是个良序集。

意义

良序原理的意义主要在于，在证明时可以使用所谓的“最小反例法”，它相当于反证法和数学归纳法的结合。

其他含义

在一些场合中，“良序原理”是“良序定理”的同义词。见良序定理。