Riemann-Roch(黎曼-洛赫)定理 是代数几何理论中最重要的定理之一。这个定理最早是建立在代数曲线上的，后来被很多数学家都考虑过将它推广到高维的情形，比如塞尔、小平邦彦、Hirzebruch等等。当然最终是德国数学家Hirzebruch完成了最一般的结果。这个定理在数论上也有相应的推广。总之，它是一个非常深刻的数学结论，它和拓扑等等有着密切联系。

我们这里先讲曲线上黎曼-洛赫定理。

设C是代数曲线， D是C上的除子，K是C上的典范除子，g是C的亏格。

我们记上同调 h^0(D)=dim |D| -1, 其中|D|是D的完全线性系， dim |D| 是它的维数。

h^1(D)=h^0(K-D),

定义示性数 χ(D)=h^0(D)-h^1(D).

特别的，我们有h^0(O)=h^1(K)=1,h^1(O)=h^0(K)=g, 从而χ(O)=1-g.

代数曲线上的Riemann-Roch 定理：

χ(D)=χ(O)+deg D.

这里deg D 是D中的点的个数(带重数的点重复计算)。

利用黎曼洛赫定理，可以解决很多经典代数曲线的有趣问题, 比如Cliifford定理。

同样，代数曲面上也有类似的定理。

χ(D)=χ(O)+1/2*(D-K)D,

这里D是曲面上的除子，K是典范除子。 示性数 χ(D)=h^0(D)-h^1(D)+h^2(D)， 特别地有，h^2(D)=h^0(K-D).

一般说来，曲面情形中h^1(D)是很难计算的。 如果一个定理可以告诉你什么时候h^1(D)=0,那么这样的定理就叫做消失定理（也成消灭定理、淹没定理）。