扩展

性质

扩展的实数轴 由实数轴 R 加上 +∞ 和 −∞ 得到（注意 +∞ 和 −∞ 并不是实数），写作 R 或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数 a，定义 −∞ ≤ a ≤ +∞，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在 R 上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合 U 是 +∞ 的邻域，当且仅当它包含集合 {x　: x ≥ a}，这里 a 是某个实数。−∞ 的邻域类似。R 是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间 [0,1] 同胚。

R 上的算术运算可以部分地扩展到 R，如下：

* 若 a ≠ −∞，a + ∞ = ∞ + a = ∞　　

* 若 a ≠ +∞，a − ∞ = −∞ + a = −∞　　

* 若 a > 0，a × +∞ = +∞ × a = +∞　　

* 若 a < 0，a × +∞ = +∞ × a = −∞　　

* 若 a > 0，a × −∞ = −∞ × a = −∞　　

* 若 a < 0，a × −∞ = −∞ × a = +∞　　

* 若 −∞ < a < +∞，a / ±∞ = 0　　

* 若 0 < a < +∞，±∞ / a = ±∞　　

* 若 −∞ < a < 0，+∞ / a = −∞　　

* 若 −∞ < a < 0，−∞ / a = +∞　　

通常，不定义 ∞ − ∞，0 × ±∞ 和 ±∞ / ±∞。同时，1 / 0 也不定义为 +∞ （这样会对 −∞ 不公平）。这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意，在这些定义下，R 不是域，也不是环。

性质

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

* a + (b + c) 和 (a + b) + c 相等或同时没有定义。

* a + b 和 b + a 相等或同时没有定义。

* a × (b × c) 和 (a × b) × c 相等或同时没有定义。

* a × b 和 b × a 相等或同时没有定义。

* a × (b + c) 和 (a × b) + (a × c) 若都有定义则相等。

* 若 a ≤ b 且 a + c 和 b + c 都有定义，则 a + c ≤ b + c。

* 若 a ≤ b 且 c > 0 且 a × c 和 b × c 都有定义，则 a × c ≤ b × c。

通常，只要表达式都有定义，所有算术性质在 R 上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到 R。例如，可以定义exp(−∞) = 0，exp(+∞) = +∞，ln(0) = −∞，ln(+∞) = ∞ 等等。