数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法，即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者偏导数的一种算法。 选择差分格式是离散化偏微分方程的第一步。

3.3.3.1 差分格式

迎风和中心差分格式

高阶迎风格式和NVD

TVD和CBC格式—MINMOD及SMART

3.3.3.1 差分格式

单元面上变量值的计算方式会对计算精度及收敛性（数值稳定性）产生深刻的影响。在充分可压缩流动情况下，考虑关于对流输运或面密度的面值估算时，以上所述就显得极为重要。就对流而言，其背后的原因是关于二阶精度线性插值离散的基本问题。也就是说，当插值应用于不够精细数值网格，可能产生非物理振荡和无界变量值（例如不能为负值的变量可能出现负值）。讨论差分格式（精度，守恒性，对流稳定性及有界性）的理想特性，除此之外，包括Peric（1985）及Gaskell和Laura（1988）。除了包括“标准”差分格式—迎风格式（UDS）和中心差分格式（CDS），AVL CFD求解器提供两种有界格式：MINMOD和AVL SMART。

迎风和中心差分格式

线性插值（相当于中心差分格式，CDS）可给定标量的面值：

（132）

为方程（130）中所定义的插值因子。正如所提到那样，CDS会产生数值振荡并获得无界且非单调的解。一个著名的修正方法是采用（一阶精度）迎风格式（UDS），即面 的值采取“迎风”节点值，从而：

（133）

其中是流经面 质量流率。UDS无条件有界（单调）但会产生过剩的数值扩散，特别是如果流动不与网格线成一条线时。

一个更为完善的方法是将CDS格式与UDS格式中的成分混合起来。为了便于这种方法的执行，我们一个定义“流动方向（floworientated）”的插值因子，比如，对于面 可给出：

（134）

方程（132）重新整理为：

（135）

上述混合格式的第二部分就是CDS和UDS成分之间（乘以混合因子）的差异所在。当混合因子的特值应用于整个区域，以上通量混合格式既简单又有效。然而，混合因子取决于网格划分及仅对于充分细网格， （例如0.9）可取很高的数值，这样不会破坏二阶精度。

小于1的混合因子引入一定的数值扩散量，以确保收敛且有界的求解方案。这种扩散可以通过设定不同标准来控制，用于数值求解计算有界性。两类边界标准，一个基于总变差衰减概念（TVD），Harten，1983；Sweby，1984；另一个基于对流边界标准（CBC），Gaskell和Laura（1988），为高阶（迎风）边界格式的构建提供极大的灵活性。

高阶迎风格式和NVD

高阶迎风格式通常是沿局部坐标，基于结构网格来构建，通过上游（），中心（ ）和下游（）计算节点。对于任意非结构网格，上游节点是未知的。然而，一个虚构的上游单元 可按照矢量特性定义，在 和之间的虚拟面距离 是相同的，如同考虑面一样。

上游（），中心（ ）及下游（）节点的定义

在附近的泰勒级数展开式用来得到关于 在， 及的三个方程。当对 求解这些方程（Gaskell和Laura，1988，在一致且正交网格情况下），可获得通用的加权近似方程：

（136）

参数定义了二阶和三阶精度格式的族系：

Leonard（1979）的关于对流运动学的三阶精度二次迎风插值（QUICK），

Warming和Beam（1976）的二阶精度线性迎风差分格式（LUDS）。

取代无量纲变量的应用，采用标准化变量 更为便利，由Leonard于1988年提出：

（137）

这样及 。引入限制原理：

（138）

方程（136）可简化为：

（139）

其中是关于 的函数：

（140）

可解释成通量限制项。

用标准化形式表示的格式图解表述采取“标准化变量图表”（NVD）。此图描述 与，如图3-4所示。

TVD和CBC格式—MINMOD及SMART

根据标准化变量，TVD约束可表示成：

和，如果 ，

如果 或（141）

有界问题的物理解释引导Gaskell和Laura提出了以下的有界约束：

和 ，如果，

如果或 （142）

从TVD和CBC条件的图解表述（参考图3-4），单元面值 应当处于单调范围的阴影面积区域，及 的直线（单调范围之外）。

请注意TVD—派生约束比CBC约束更为严格。很明显，NVD图表（CDS，LUDS及QUICK）中关于线性特性的简单格式可能违背边界标准（除了一阶UDS）并采用非线性或分段线性格式的某种形式。

压缩流动求解器中采用各种迎风TVD格式以捕获冲击振动。这些格式可按照方程（139）所给的形式表述，其中通量限制项可限制变量通量达到一定程度以保证有界求解。在不同限制项中（参考Sweby，1984），Roe’s MINMOD限制项是在单调范围内LUDS和CDS格式分段组合产物。Gaskell和Laura（1988）提出了SMART格式（针对于真实输运的单调算法），很大部分单调范围内与QUICK格式相一致。对两种有界格式的相应的限制项可写成：

（143）

Gaskell和Laura为系数推荐以下数值：

=2（对于非一致性网格而言，）和 =1。这些简单而有界的格式NVD特性呈现在图3-4中。基于稳态基准测试，我们得出结论：（AVL SMART）的SMART格式比原先的SMART具有更好的收敛特性。只是会略微降低精度，但改善的收敛性通常更为有益。利用相似原理，我们建议采用MINMOD格式，尤其是对于稳态情况。

比SMART格式的变量更具扩散性（精度更低），但仍具有良好的收敛性且针对细化数值网格可提供二阶精度。