叉积，又名叉乘。 最早源自于三维向量空间的运算，因此也叫向量的外积，或者向量积。 两个三维向量的叉积等于一个新的向量， 该向量与前两者垂直，且长度为前两者张成的平行四边形面积， 其方向按照右手螺旋决定。

数学定义

数学性质

二重向量叉乘

应用

推广

数学定义

在三维向量空间中 ， 假设a和b是两个向量， 那么它们的叉积c=aXb可如下严格定义。

（1）|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>

（2）c⊥a， 且c⊥b，

（3）c的方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

英文名：cross product

数学性质

（1）反对称性： a×b=-b×a

因此向量的叉积不遵守乘法交换律。

（2） 向量叉积的坐标表示：

设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，

则 a×b=

| i j k|

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

（3）混合积： (aXb)·c等于a,b,c张成的三维平行体的体积。

二重向量叉乘

由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

应用

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

同样用叉积表示的公式有: F = I ( L × B ) (磁场中通电导体所受的安培力)

在数学中，可以用两个向量的叉积表示这两个向量所在的平面的法向量。

平行四边形的面积可以用平行四边形两邻边的叉积表示，面积是一个矢量，长度也是矢量。

平行六面体的体积可以用过同一顶点的三边的混合积表示。

叉积可以用来判断平面向量夹角的正负。对于向量a、b，a×b=axby-bxay，其值大于0则夹角为正。

推广

叉积推广到高维向量空间中，就是所谓的外积，由格拉斯曼首创。 因此它也可看成是张量积的一种特例。