在公式教学中设法提高学生的思维能力

老河口市贾湖中学　胡俊波

在数学公式教学中不仅要引导学生注重展示公式的形成过程，掌握公式的结构特征，揭示公式之间的联系，而且还要引导学生熟悉公式的各种变化，灵活应用公式，学会由浅入深，由表及里，“顺”用、“逆”用公式，进而达到“变”用与“创”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，这样既利于学生对知识的掌握，更有利于提高学生的思维能力，特别是创造性思维能力，本文拟谈谈有关公式教学的探索经验。

1、“顺”用公式，深刻理解结构特征。

分清公式的题设和结论是掌握数学公式的前提。现行教材中配备了不少“顺”用公式的例、习题，从中可训练学生将字母、符号表示的公式与语言叙述的公式互译，以加深对公式结构特征的深刻理解和记忆。这样，应用时才能准确无误，得心应手。也为“活”用公式、“创”用公式夯实基础。

2、“逆”用公式，培养逆向思维。

“逆”用公式解题，是训练学生逆向思维的重要手段，对于公式，由右向左“逆”用学生不习惯，然而“逆”用公式可以促使学生对公式的更深刻理解，更能开发学生的智力。在教学中我注意了以下两点：

⑴先使学生明确每个公式的逆命题是否正确，并注意其成立的条件。

⑵通过公式的正逆比较，使学生明确有些题目逆用公式来解比较简便，以摆脱正向思维定式的影响，培养学生的逆向思维能力。

例1:计算（+5）2－（－5）2

本题可先用完全平方公式求出(+5)2和(－5)2，再求差，但运算量大，若先逆用平方差公式可得巧解。

解:原式=[(+5)+(－5)][(+5)－(－5)]

=10x.

3、“变”用公式，培养思维的灵活性

为了能在更广阔的背景下运用公式，需要对公式进行各种变形，从而产生不同形式的新公式，“变”用公式可以培养学生思维的高度灵活性。

例2:已知x+y=13，xy=10，求下列各式的值：

⑴x2+y2； ⑵(x－y)2.

粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式可以有下列变形：

x2+y2=(x+y)2－2xy,

(x－y)2=(x+y)2－4xy.

可有如下解法：

解　⑴x2+y2=(x+y)2－2xy

=132－2×10

=149.

⑵(x－y)2=(x+y)2－4xy

=132－4×10

=129.

又如在运用勾股定理时，若a、b、c为Rt△ABC的三边，且c为斜边，则a2+b2=c2。要求学生对此公式有如下几种变用方式：

①a2=c2－b2, ②b2=c2－a2, ③a=，

④b=，⑤c=.

让学生熟悉各种变形，可以使学生在解题时，根据随时出现的问题的结构特征、表示形式、数量关系等信息，及时联想有关公式及其变形，来寻求解题捷径。

4、“活”用公式，培养思维的灵活性。

有些问题，可以有不同的解法，在教学中要引导学生仔细观察题目的特征，活用公式，从而寻求最佳的解题方法。

例3:计算(a+2b)2(a－2b)2.

解法1:若先用完全平方公式

原式=(a2+4ab+4b2)(a2－4ab+4b2)

=[(a2+4b2)+4ab][(a2+4b2)－4ab]

=(a2+4b2)2－(4ab)2

=a4+8a2b2+16b4－16a2b2

=a4－8a2b2+16b4.

解法2:若先用平方差公式

原式=[(a+2b)(a－2b)]2=(a2－4b2)2

=a4－8a2b2+16b4.

例4:计算(a+b+c)2.

学生初学两数和的完全平方公式，不能运用两数和的完全平方公式来计算例4，但是经过换元，可以转化为两数和的完全平方的形式。

解: (a+b+c)2=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

由此可知，活用不同的公式，将会产生不同的解题效果。这对提高学生的分析问题、解决问题的能力大有裨益，也是开阔学生思路，培养学生发散思维、联想和创新能力的有效方法之一。

5、“创”用公式，培养创新性思维。

在教学过程中引导学生创造性运用数学公式，让学生主动地去探索，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，而且还能培养学生刻苦钻研数学问题的热情和毅力，更能培养学生的创造性思维能力。“创”用公式的方法很多，现举例如下：

例5：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

乍看此题无公式可用，“直接展开”太繁，但添上一项(2－1)，便可反复运用平方差公式解决。

解:原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)

=……

=216－1.

例6：计算(2x－5y－3)(－2x+5y+5).

初看这两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“－3”拆为“－4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见。

解:原式=(2x－5y－4+1)(－2x+5y+4+1)

=[(5y+1)+(2x－4)][(5y+1)－(2x－4)]

=(5y+1)2－(2x－4)2

=25y2+10y－4x2+16x－15.

在运用公式的教学中，通过“活”用公式，能有效的让学生体会数学思想、数学方法，进而培养和提高学生的思维能力，特别是创造性思维能力。

在公式教学中设法提高学生的思维能力

老河口市贾湖中学　胡俊波

在数学公式教学中不仅要引导学生注重展示公式的形成过程，掌握公式的结构特征，揭示公式之间的联系，而且还要引导学生熟悉公式的各种变化，灵活应用公式，学会由浅入深，由表及里，“顺”用、“逆”用公式，进而达到“变”用与“创”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，这样既利于学生对知识的掌握，更有利于提高学生的思维能力，特别是创造性思维能力，本文拟谈谈有关公式教学的探索经验。

1、“顺”用公式，深刻理解结构特征。

分清公式的题设和结论是掌握数学公式的前提。现行教材中配备了不少“顺”用公式的例、习题，从中可训练学生将字母、符号表示的公式与语言叙述的公式互译，以加深对公式结构特征的深刻理解和记忆。这样，应用时才能准确无误，得心应手。也为“活”用公式、“创”用公式夯实基础。

2、“逆”用公式，培养逆向思维。

“逆”用公式解题，是训练学生逆向思维的重要手段，对于公式，由右向左“逆”用学生不习惯，然而“逆”用公式可以促使学生对公式的更深刻理解，更能开发学生的智力。在教学中我注意了以下两点：

⑴先使学生明确每个公式的逆命题是否正确，并注意其成立的条件。

⑵通过公式的正逆比较，使学生明确有些题目逆用公式来解比较简便，以摆脱正向思维定式的影响，培养学生的逆向思维能力。

例1:计算（+5）2－（－5）2

本题可先用完全平方公式求出(+5)2和(－5)2，再求差，但运算量大，若先逆用平方差公式可得巧解。

解:原式=[(+5)+(－5)][(+5)－(－5)]

=10x.

3、“变”用公式，培养思维的灵活性

为了能在更广阔的背景下运用公式，需要对公式进行各种变形，从而产生不同形式的新公式，“变”用公式可以培养学生思维的高度灵活性。

例2:已知x+y=13，xy=10，求下列各式的值：

⑴x2+y2； ⑵(x－y)2.

粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式可以有下列变形：

x2+y2=(x+y)2－2xy,

(x－y)2=(x+y)2－4xy.

可有如下解法：

解　⑴x2+y2=(x+y)2－2xy

=132－2×10

=149.

⑵(x－y)2=(x+y)2－4xy

=132－4×10

=129.

又如在运用勾股定理时，若a、b、c为Rt△ABC的三边，且c为斜边，则a2+b2=c2。要求学生对此公式有如下几种变用方式：

①a2=c2－b2, ②b2=c2－a2, ③a=，

④b=，⑤c=.

让学生熟悉各种变形，可以使学生在解题时，根据随时出现的问题的结构特征、表示形式、数量关系等信息，及时联想有关公式及其变形，来寻求解题捷径。

4、“活”用公式，培养思维的灵活性。

有些问题，可以有不同的解法，在教学中要引导学生仔细观察题目的特征，活用公式，从而寻求最佳的解题方法。

例3:计算(a+2b)2(a－2b)2.

解法1:若先用完全平方公式

原式=(a2+4ab+4b2)(a2－4ab+4b2)

=[(a2+4b2)+4ab][(a2+4b2)－4ab]

=(a2+4b2)2－(4ab)2

=a4+8a2b2+16b4－16a2b2

=a4－8a2b2+16b4.

解法2:若先用平方差公式

原式=[(a+2b)(a－2b)]2=(a2－4b2)2

=a4－8a2b2+16b4.

例4:计算(a+b+c)2.

学生初学两数和的完全平方公式，不能运用两数和的完全平方公式来计算例4，但是经过换元，可以转化为两数和的完全平方的形式。

解: (a+b+c)2=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

由此可知，活用不同的公式，将会产生不同的解题效果。这对提高学生的分析问题、解决问题的能力大有裨益，也是开阔学生思路，培养学生发散思维、联想和创新能力的有效方法之一。

5、“创”用公式，培养创新性思维。

在教学过程中引导学生创造性运用数学公式，让学生主动地去探索，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，而且还能培养学生刻苦钻研数学问题的热情和毅力，更能培养学生的创造性思维能力。“创”用公式的方法很多，现举例如下：

例5：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

乍看此题无公式可用，“直接展开”太繁，但添上一项(2－1)，便可反复运用平方差公式解决。

解:原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)

=……

=216－1.

例6：计算(2x－5y－3)(－2x+5y+5).

初看这两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解，但若把“－3”拆为“－4+1”，把“5”拆为“4+1”，则运用公式的前景依稀可见。

解:原式=(2x－5y－4+1)(－2x+5y+4+1)

=[(5y+1)+(2x－4)][(5y+1)－(2x－4)]

=(5y+1)2－(2x－4)2

=25y2+10y－4x2+16x－15.

在运用公式的教学中，通过“活”用公式，能有效的让学生体会数学思想、数学方法，进而培养和提高学生的思维能力，特别是创造性思维能力。