定义

方程的应用

定义

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——(1)；且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。(2)

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ属于[0，2π） ) (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 (x,y)为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ (θ属于[0，2π） ) a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数

双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut， y=y'+vt (t属于R) x', y'直线经过定点(x',y'),u，v表示直线的方向 向量d=（u，v）

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ) y=r(sinφ-φcosφ) (φ∈[0,2π)) r为基圆的半径 φ为参数

平摆线参数方程 x=r(θ-sinθ) y=r(1-cosθ) r为圆的半径，θ是圆的半径所经过的角度（滚动角），当θ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

方程的应用

在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。

柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足：

(1)在闭区间[a，b]上连续；

(2)在开区间(a，b)内可导；

(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，

那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。