the method of Brent

布伦特（Brent）方法是在二分法或试位法的基础上，借助二次插值方法进行加速，有利用反插值方法来简化计算而形成的一种方法，初步感觉有些小题大做，仔细分析又不无道理。

假如知道f(x)的零点x’在一个不太大的区间[x0,x1]内，而且已知f(x)在区间的端点a,b处的函数值y0=f(x0),y1=f(x1),f(x0) f(x1)<0,以及f(x)=0在（x0,x1）内的近似解x=x2和f(x2)，接下来利用这已知的三个点以及它们所对应的函数值作插值抛物线。与Muller方法不同的是，把

x0 ，x1 ，x2 与f(x0), f(x1), f(x2)的对应关系反过来用，相当于用y0 ，y1 ，y2 替代方程组

f(x0)= a(x0-x2) ^2+b(x0-x2)+c **************** (1)

f(x1)= a(x1-x2) ^2+b(x1-x2)+c **************** (2)

f(x2)= a(x2-x2) ^2+b(x2-x2)+c **************** (3)

中的x0 ，x1 ，x2 ，而方程组的常数项f(x0), f(x1), f(x2) 则用这里的x0 ，x1 ，x2替换。所以对应的插值抛物线的一般形式为

x= a(y-y2) ^2+b(y-y2)+c **************** (4)

x0= a(y0-y2) ^2+b(y0-y2)+c **************** (5)

x1= a(y1-y2) ^2+b(y1-y2)+c **************** (6)

x2= a(y2-y2) ^2+b(y2-y2)+c **************** (7)

由（5）（6）（7）式可以得c=x2,利用Muller方法，可以写成a,b 的表达式。

在（4）中令y=0,可以得到下一个近似点为

X=x2+(ay2 ^2+by2) **************** (8)

其中ay2 ^2+by2相当于校正项。

Brent方法的下一个规则是，如果得到的x仍然在区间[x0,x1]内，则用x2根据f(x2)

的符号替换x0或x1 ，用x替换x2；如果所得到的x不在区间[x0,x1]内，则暂时放弃反抛物线插值法，继续用二分法或试位法。

实际上，我们可以利用二分法所得到函数顺便采用反插值方法试探一下，看能否捡到一些便宜。

在这种平常心态下，我们也可以得到类似的效果，而且方法还简单得多。