简介

与选择公理的关系(ZFC中的证明 反推选择公理)

简介

豪斯多夫极大原理声称对任何偏序集中的任何一条链，都存在这个偏序集中的一条极大链包含这条链。

豪斯多夫极大原理是佐恩引理的一种更早的形式化表述。事实上，在ZF公理集合论系统中，它和佐恩引理，从而和选择公理，是等价的。

与选择公理的关系

ZFC中的证明

豪斯多夫极大原理是一条ZFC公理集合论系统中的定理。它可以由佐恩引理证明如下：

对任何偏序集(P,≤)和其中的任一条链A，所有包含A的链按照包含关系可构成一个偏序集(T,≤)，由于后者的任一条链S代表前者的一组两两之间相互有包含关系且包含A的链，所以这组链的并集仍是一条包含A的链，且是S的一个上界。根据佐恩引理，偏序集(T,≤)有极大元素M，M即为一条包含A的极大链。

反推选择公理

在ZF中，由豪斯多夫极大原理可以简单地证明佐恩引理，从而也推出了选择公理：

对任何偏序集(P,≤)，空集是它的一条链，根据豪斯多夫极大原理，存在它的一条极大链S。若偏序集(P,≤)满足佐恩引理的条件，即所有的链都有上界，则这条极大链S也有一个上界M。显然不存在M'>M，否则把M'接到S上得到一条更长的链，与S的极大性矛盾。故M即为原偏序集中的一个极大元素。

由此可见，在ZF中，豪斯多夫极大原理是众多与选择公理等价的命题之一。