定义

详解

实例(实数集 无理数集)

定义

不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合。

详解

不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系/法则），那么它就是一个不可数集。

实例

实数集

康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。

对角线法证明实数集不可数的大致思路如下：显然实数集不是有限集。反设实数集和自然数集之间存在一个双射，设自然数0对应的实数是a0，1对应实数a1，2对应a2，……i对应ai。注意任意实数可以唯一地表示为不以无限多个9结尾的十进制小数（0.999……=1），我们可设aij为ai小数点后的第j+1位。

我们现在确定一个实数x，并说明它不能和任何自然数对应。x的整数部分是0；设xj为x小数点后的第j+1位，令xj=0，当ajj≠0；xj=1，当ajj=0。x的表示形式是一个不以无限多个9结尾的十进制小数，但是它不等于任何一个ai，因为由定义，x小数点后的第i+1位xi不等于aii。因此“实数集和自然数集之间存在一个双射”的假设不成立，所以实数集是不可数集。

无理数集

无理数集也是不可数集。事实上，反设无理数集至多是可数集，因为有理数集是可数集，实数集就是有限个至多可数集的并集，为至多可数集，与已得的结果矛盾。所以无理数集是不可数集。