关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状，这里x 是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓扑的和泛函分析的（见非线性算子）。

不动点理论(常见的不动点定理 不动点指数 不动点的计算 参考文献)

在经济中的应用(在经济中的应用 在Nash经济中的应用 参考文献)

不动点理论

常见的不动点定理

压缩映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：设X是一个完备的度量空间，映射ƒ:Χ→Χ 把每两点的距离至少压缩λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=ƒ（x0），x2=ƒ（x1），...，xn=ƒ（x(n-1)），...，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面。

Brouwer不动点定理(1910): 设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。

Kakutani不动点定理: 设C是R^n中的紧凸集, f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射. 则至少存在一点x*, 使得x*∈f(x*). 1941年, Kakutani把Brouwer不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形.

不动点指数

不动点的个数有两种数法。代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的;如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n。推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质。一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数。莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L(ƒ)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当L(ƒ)≠0时，与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱－霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷－绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具。

J.尼尔斯1927年发现，一个映射ƒ 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(ƒ)。只要Χ是维数大于2的流形，N(ƒ)恰是与 ƒ同伦的映射的最少不动点数。这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法。

莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚－辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理。

不动点的计算

上述各种不动点定理，除压缩映射原理外，都未给出不动点的具体求法。由于应用上的需要，不动点算法的研究正在蓬勃发展，以求把拓扑的思路落实为快速、实用的计算方法。

参考文献

[1] 江泽涵，《不动点类理论》，科学出版社，北京，1979。

[2] V. I. Istratescu. Fixed Point Theory (An Introduction)[M]. Reidel, 1981.

[3] B.Jiang,Lectures on Nielsen Fixed Point Theory,Amer. Math. Soc., Providence, 1983.

[4] M.J.Todd,The Computation of Fixed Points and Applications, Springer-Verlag, New York, 1976.

[5] L. E. J. Brouwer. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl[J]. Math. Ann., 1911, (70): 161–165.

[6] S. Kakutani. A Generalization of Brouwer Fixed Point Theorem[J]. Duke Math. J., 1941, (8): 457–459.

[7] 熊金城. 点集拓扑讲义(第三版)[M]. 高等教育出版社, 2003.

在经济中的应用

在经济中的应用

一般经济均衡理论是数理经济学的中心论题, 其问题的提出可追溯到Adam Smith[1]于1776年在他的名著《国富论》中写下的那段名言:

“每人都在力图应用他的资本, 来使其生产品能得到最大的价值. 一般地说, 他并不企图增进公共福利, 也不知道他所增进的公共福利为多少. 他所追求的仅仅是他个人的安乐, 仅仅是他个人的利益. 在这样做时, 有一只看不见的手引导他去促进一种目标, 而这种目标决不是他所追求的东西. 由于追求他自己的利益, 他经常促进了社会利益, 其效果要比他真正想促进社会利益时所得到的效果为大.”

Adam Smith在这里提出一个意义十分深远的问题: 假设有一个包含许许多多小系统的大系统, 大系统有其总目标, 小系统也各有各的小目标. 那么, 是否可能存在一只“看不见的手”来对各小系统进行引导, 使得每个小系统都只需追求各自的小目标最优, 就能使大系统的总目标达到最优.

很明显, 这样的问题在社会科学与自然科学的许多地方都会遇到. 但是, Adam Smith本人并未对问题作这样的理解, 更没有把问题表达成一种数学的形式.

直到1874年, 法国经济学家Leon Walras在其著作《纯粹经济学要义》中才把Adam Smith的观点进一步提成今天所说的一般经济均衡问题. Walras首先把“看不见的手”解释为价格体系, 而“社会利益”则被理解为供需平衡. 于是他提出的问题就有下列形式: 是否存在一个价格体系(称为均衡价格体系), 使得消费者在满足预算约束条件下得到最大的效用, 生产者在生产技术条件和水平下取得最大的利益, 而且供给和需求恰好相等, 即达到一般经济均衡. Walras还把他的一般经济均衡理论表达为非线性方程组. 他自以为这样的方程组必有解, 但没有给出解的存在性的数学证明, 留下一个待解决的数学问题: 怎样来严格陈述和怎样来严格证明Walras一般经济均衡的存在性?

在此后的一个多世纪中, 许多数理经济学家投入了一般经济均衡的研究. 1924年, 瑞典经济学家Gustave Cassel人为地作了线性假设, 把模型修正为线性模型, 并使用不等式, (称为Walras-Cassel模型). 罗马尼亚数学家Abraham Wald还给出Walras-Cassel模型的一般经济均衡存在的严格数学证明. 但是这个模型除了作了缺乏一般性的线性假设外, 还假设价格很高时需求仍然是正的, 这在经济学上无法接受, 所以它不能作为一般经济均衡的理论基础.

直到1954年, Arrow和Debreu[2,3]在一些具有明确经济学意义的假设条件下, 用数学公理化方法深刻表述该问题, 利用Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理, 严格证明了Walras经济的一般均衡的存在性和最优性, 使得那只“看不见的手”成为缜密的科学体系, 使得经济学形成了一个统一的方法论和分析框架. 他们分别于1972年和1983年获得了经济学Nobel奖.

在Nash经济中的应用

近些年来, 经济形势发生了深刻的变化, 生产规模扩大, 垄断势力增强, 人们要谈判、合作、讨价还价, 但所有这一切都建立在个人理性的基础之上, 建立在竞争的基础之上. 随着这种竞争的日益加剧, 各种策略和利益的对抗、依存和制约, 使博弈论(主要是非合作博弈, 而非合作博弈理论中最重要、最核心的概念是Nash均衡)达到了全盛时期, 由它的概念、内容思想和方法出发, 已经并将继续几乎全面地改写经济学, 也并将得到更加广泛的应用.

Von Neumann[4]就零和(所有局中人的收支和为零)的情况证明了非合作博弈均衡点的存在, 在1944年宣告了博弈论的诞生.

1950年, Nash考虑了 人非零和的情况, 他研究了 人有限非合作对策(每个局中人的纯策略均为有限个, 均考虑混合策略), 分别应用Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理证明了Nash均衡的存在性[5,6].这一模型实际上假定：

(1)对每个局中人来说, 所有信息都是公共的、完全的、对称的；

(2)每个局中人都是完全理性的, 都能在各自策略集中选择对自己最有利的策略.

对应用来说, 以上两个假设太理想了, 也太苛刻了, 因为它要求每个局中人都是神——无所不知且无所不能. 因此, 相当一段时间以来, 关于博弈论的研究就主要是数学家们的“专利”, 大量的论文也主要发表在数学杂志上, 经济学家们并没有表现出很大的兴趣和很高的热情, 而数学家们则总在日夜辛劳, 不断地改进和推广着各种定理.

Harsanyi[7]和Selten[8]的工作分别在这两个方面提出了新的思想, 大大扩展了博弈论的应用(他们二位都是有数学背景的经济学家), 正因为如此, 他们才与Nash一起, 获得了1994年的经济学Nobel奖.

参考文献

[1] 高鸿业. 西方经济学(微观部分第四版)[M]. 中国人民大学出版社, 2007.

[2] K. J. Arrow and G. Debreu. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy[J]. Econometrica, 1954, (22): 265–290.

[3] G. Debreu. Theory of Value[M]. Wiley, New York, 1959.

[4] J. Von Neumann. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele[J]. Math. Ann., 1928, (100): 295–320.

[5] J. Nash. Equilibrium Points in N-person Games[J]. Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A., 1950, (36): 48–49.

[6] J. Nash. Noncooperative Games[J]. Math. Ann., 1951, (54): 286–295.

[7] C. Harsanyi. Games with Incomplete Information Played by ‘Bayersian’ Players[J]. I–III, Management Science, 1967, (14):159–182; 1968, (14): 320–334, 486–502.

[8] R. Selten. Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games[J]. Inter. J. Game Theory, 1975, (4):25–55.

[9] 王则柯, 左再思, 李志强. 经济学拓扑方法[M]. 北京大学出版社, 2002.

[10] 郑权. 经济平衡点的一般理论和求法[J]. 运筹学杂志, 1986, 6 (5): 9–18.

[11] 邹辉文. Kakutani不动点定理在数理经济学中的一个应用[J]. 1996, 6, (25): 28–33.

[12] 俞建. 不动点定理及其在经济平衡中的应用[J]. 贵州工业大学学报(自然科学版), 1988, S1.

[13] 俞建. 博弈论: Nash平衡[J]. 贵州工业大学学报(自然科学版), 2004, 10, (33): 1–5, 19.

[14] 史树中. 一般经济均衡的数学问题[J]. 数学的实践与认识, 1986, (3).

[15] 邓璎函. 不动点理论在经济均衡中的应用[J]. 西南大学2006级本科毕业论文, 2010.