不动点，是一个函数术语，在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。

举例

函数不动点

不动点原理

不动点应用

不动点法求数列通项

举例

取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。

通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。

纸被揉成球以后，看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团）

假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。

就是说：

整个纸盒对应于纸团

纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块

纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块

纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块

…………………………

不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。

函数不动点

例如，定义在实数上的函数f，

f(x) = x^2 - 3x + 4，

则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。

也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

不动点原理

不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。

不动点应用

1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）

2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式

3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题

4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）

5 求解一阶递归数列的极限

这是利用不动点开立方（牛顿切线法）的例子

开方：

公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3设A=5，开3次方

　5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：

第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，输入值大于输出值，负反馈

2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，输入值小于输出值正反馈

1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}输入值大于输出值，负反馈

第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值正反馈

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099.

当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。

不动点法求数列通项

对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求