背景介绍

定义

纤维化中的应用

典范映射中的应用

背景介绍

宫冈-丘不等式(Miyaoka-Yau inequality)是由Miyaoka和丘成桐 发现的代数曲面 的陈类 （即陈省身 示性类）不等式。 这是代数几何 和微分几何中非常重要的结果。 这一不等式在高维情形也有类似推广， 但由于高维情形陈类很复杂， 所以这类推广并不是很完善。

定义

在代数曲面情形，设X 是非有理曲面的代数曲面， c_1(X), c_2(X)分别是X的第一第二陈类。 Miyaoka-Yau 不等式如下表述:

c_1^2(X)≦3c_2(X).

结合诺特不等式， 上述结果也可表示成

c_1^2(X)≦9χ(O_X).

这里χ(O_X)是X上结构层O_X的上同调示性类。

这一不等式最早由微分几何方法获得， 因此不等式的误差部分可以由某些正的积分式得到。 等号成立当且仅当X是某个球商曲面。

Miyaoka-Yau不等式在开曲面情形也有类似推广。

纤维化中的应用

如果f:X→C是曲面纤维化， 那么开曲面上的Miyaoka-Yau 不等式等价于纤维化理论中著名的Vojta不等式, 也称典范类不等式(Canonical class inequality).

有趣的是， 典范类不等式结合肖刚不等式，可以得到著名的Arakelov不等式 。 反过来，利用Viehweg-Zuo 不等式（Arakelov不等式的推广）的极限情形，又能重新得到典范类不等式。

典范映射中的应用

Miyaoka-Yau 不等式的最直接应用，是估计一般型极小曲面 的典范映射的次数上界。比如当典范映射的像曲面的光滑解消模型亏格为0时，可以证明典范映射次数不超过36。 如果对χ(O_X)做一些条件限制， 可以进一步下降典范映射的次数上界估计。