托勒密（Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

证明如下：在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD

则三角形ABE和三角形ACD相似

所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而角BAC=角DAE

所以三角形ABC和三角形AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC

又因为BE+ED>=BD

所以命题得证

托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

推广及证明

* 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

o 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。

o 四点不限于同一平面。