概述

定义

举例

代数性质

概述

在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

定义

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集，记作A∪B，读作“A并B”

A∪B={xIx∈A或x∈B}

举例

集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。

形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。

代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即 Φ ∪A = A，对任意集合 A。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集：

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合，则 x 是 M 的并集的元素，当且仅当存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。即： <math>x \\in \\bigcup\\mathbf \\iff \\exists A{\\in}\\mathbf, x \\in A.</math>

无论集合 M 本身是什么，M 的并集是一个集合，这就是公理集合论中的并集公理。

例如：A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集。同时，若 M 是空集， M 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：集合论科学家简单地写 <math>\\bigcup \\mathbf</math> ， 而大多数人会这样写 <math>\\bigcup_{A\\in\\mathbf} A</math> 。 后一种写法可以推广为 <math>\\bigcup_{i\\in I} A_</math> ， 表示集合 {Ai : i is in I} 的并集。这里 I 是一个集合，Ai 是一个 i 属于 I 的集合。在索引集合 I 是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似： <math>\\bigcup_{i=1}^{\\infty} A_</math> 。

同样，也可以写作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". （这是一个可数的集合的并集的例子，在数学分析中非常普遍；参见σ-代数）。最后，要注意的是，当符号 "∪" 放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写的大一些。 交集在无限并集中满足分配律，即 <math>\\bigcup_{i\\in I} (A \\cap B_) = A \\cap \\bigcup_{i\\in I} B_</math> 。 结合无限并集和无限交集的概念，可得 <math>\\bigcup_{i\\in I} (\\bigcap_{j\\in J} A_{i,j}) \\subseteq \\bigcap_{j\\in J} (\\bigcup_{i\\in I} A_{i,j}).</math>