芬斯拉不等式

设△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为Δ，则

a^2+b^2+c^2≥4√3 Δ（当a=b=c时，等号成立）……（1）

不等式（1）叫做芬斯拉不等式（Finsler，1894—），它反映了三角形三边与其面积之间的关系。

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设AD=h，BD=m，DC=n，则有

a^2=(m+n)^2，b^2=h^2+n^2，c^2=h^2+m^2，Δ=(m+n)h/2，

∵[h-√3(m+n)/2]^2+[(m-n)/2]^2≥0……（2）

等号当且仅当h=√3(m+n)/2，且m=n时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

(m+n)^2+h^2+n^2+h^2+m^2≥2√3(m+n)h，

∴ a^2+b^2+c^2≥4√3 Δ。（当a=b=c时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当a=b=c时，正三角形的面积最大，此时有m=n，h=√3(m+n)/2，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

a^2+b^2+c^2-4√3 Δ

=a^2+b^2+(a^2+b^2-2abcosC)-2√3abcosC

=2[a^2+b^2-2absin(C+30°)

≥2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2≥0

当且仅当a=b，∠C=60°，即a=b=c时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广：

1、若a、b、c、d为四边形的四条边， Δ为其面积，则有

a^2+b^2+c^2+d^2≥4 Δ

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若L1、L2、……、Ln为n边形的边长， Δ为其面积，则有

L1^2+L2^2+……Ln^2≥4 Δtan(π/n) (n≥3)

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。