伯努利方程

设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象.设a1处的横截面积为S1,流速为V1,高度为h1;a2处的横截面积为S2,流速为V2,高度为h2.

思考下列问题:

①a1处左边的流体对研究对象的压力F1的大小及方向如何

②a2处右边的液体对研究对象的压力F2的大小及方向如何

③设经过一段时间Δt后(Δt很小),这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离分别为ΔL1和ΔL2,则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大 它们之间有什么关系 为什么

④求左右两端的力对所选研究对象做的功

⑤研究对象机械能是否发生变化 为什么

⑥液体在流动过程中,外力要对它做功,结合功能关系,外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系

推导过程:

如图所示,经过很短的时间Δt,这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离为ΔL1和ΔL2,左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1,右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2.

因为理想流体是不可压缩的,所以有

ΔV1=ΔV2=ΔV

作用于左端的力F1=p1S2对流体做的功为

W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV

作用于右端的力F2=p2S2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为

W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV

两侧外力对所选研究液体所做的总功为

W=W1+W2=(p1-p2)ΔV

又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速V没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变.这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即

E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能

∴W=E2-E1

(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV

整理后得:整理后得:

又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为

上述两式就是伯努利方程.

当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为

该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速V大的地方压强p小,流速V小的地方压强p大.