什么是二维几何变换

二维指长和宽，即平面。

二维几何变换就是平面几何的几种变换。如平移，旋转，翻折等的变换

正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：

这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。

形进行平移变换；[ g h ]是对图形作投影变换；[ i ]则是对图形整体进行缩放变换。

1）平移变换

2）缩放变换

3）旋转变换

4）对称变换

对称变换其实只是 a 、 b 、 d 、 e 取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

当 b = d =0， a =-1， e =1时有 x =-x，y=y，产生与y轴对称的图形。

当 b = d =0， a =-1， e =-1时有 x =x，y=-y，产生与x轴对称的图形。

当 b = d =0， a = e =-1时有 x =-x，y=-y，产生与原点对称的图形。

当 b = d =1， a = e =0时有 x =y，y=x，产生与直线y=x对称的图形。

当 b = d =-1， a = e =0时有 x =-y，y=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

5）错切变换

当 d =0时，x=x+by，y=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值 （x，y）及变换系数b作线性变化。

当 b =0时，x=x，y=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值 （x，y）及变换系数d作线性变化。

6）复合变换

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

复合平移 对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：

复合缩放 两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

复合旋转 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：

缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（ xf ， yf ）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（ xf ， yf ）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。 关于（ xf ， yf ）点的缩放变换 绕（ xf ， yf ）点的旋转变换