引 言

1、 变值函数的基本求法(1.1、直接推导法： 1.2、基值系数法： 1.3、变换系数法：)

2、 变值函数的基本性质

3、 变值函数的变基运算与通基变换(3.1、变基运算： 3.2、通基变换：)

变值函数——初识一种扩展的新型数学函数

引 言

为便于区别和应用，可将箱变坐标系和变值坐标系中表示变值坐标的对应函数叫变值函数，表示基值坐标的对应函数叫基值函数，相应地可把表示等值坐标的对应函数叫等值函数。三种函数各具优势并可通过变值系数的作用实现相互变换。其中，等值函数可视为变值函数和基值函数的一种特例（即变值系数恒为1），因此，后者是对前者的继承和扩展。通常三种函数的自变量取值多采用基值坐标，其中，等值函数的基值坐标与变值坐标完全相同。变值函数和变值坐标系是变值方法的两大基础。

作为数学函数，其基本问题应当有二，即函数的求法和算法。这里求法是基础，算法是关键。由于变值函数和基值函数是对等值函数的继承和扩展，因此，只要熟悉后者的有关求法和算法并对前者的有关思路和方法有所了解，则对其掌握和运用将并非难事，但应注意两者的异同。由于基值函数的求法和算法与常规的等值函数基本相同，故下面重点说明变值函数。

1、 变值函数的基本求法

正箱坐标系和斜箱坐标系均可用于求得变值函数。一般来说，变值函数的基本求法可有如下三种。

1.1、直接推导法：

本法是指通过适当的数学推导直接求出变值函数的方法。其基本做法是：首先是通过改变坐标单位使所求函数自变量的对应范围或空间内的同名坐标单位数各自处处对应相等，相当于把密度均匀的基箱体变为密度不匀的方箱体，并将箱变坐标系的变值坐标单位数视为等值坐标系的等值坐标，然后运用常规数学方法（包括现有的各种函数求法）求之即可。其中，一元时对应于基箱面，通常只需改变宽距或长距单位，有时需要改变高距单位；二元时对应于基箱体，通常只需改变宽距和长距单位，有时需要改变宽距和高距或长距和高距单位；三元时仍对应于与基箱体，需要同时改变长距、宽距和高距单位。如前述的二元扭面方程便是将基箱体通过改变纵、横坐标单位而变为相应方箱体后采用常规数学方法而得。其中，线性扭面方程为四项，由此可知，当变质系数一定时，线性扭面可由四点确定。

1.2、基值系数法：

本法是由基值函数与对应变值系数复合而得变值函数的方法。其中，变值系数通常是在建立坐标系时即已确定（见前述变值系数的求法）；基值函数的求法与等值函数相同，其基本求法是：首先将基值坐标视为等值坐标，然后运用常规数学方法（包括现有的各种数学方法）按照等值函数的相应方法求之即可。当基值函数为显函数时，则将其对应的变值系数与其等式右边相乘即可（自变量仍为基值变量），此时，等式左边的基值变量随之变为同名的变值变量，所得函数值对应于变值坐标；而隐函数的具体求法尚待进一步探讨和验证。当变值系数的确定比较合理时，其基值函数通常均较简单，这里需要搞清函数（因变量）与自变量、各变量与变值系数的相互对应。如前述正箱体的高距函数也可采用基高或高距变量×高距系数而得，这里的高距和高距变量对应于基值函数。

1.3、变换系数法：

本法是指通过变换坐标系数将原有变值函数变为新的变值函数的方法。本法还可用于等值函数与变值函数、变值函数与基值函数、不同的基值函数之间的相互变换等。当变换后的函数项（因变量）的变值系数（新变系数）为1时，则得到变值函数（此时，若坐标系随之而变，则变为等值坐标系和等值函数）；若函数项的新变系数不为1，则得到相应变值坐标系的基值函数。在进行变换时，可先求出变换系数，即原变值系数（原变系数）与新变系数之比，然后将变换系数作为变值系数采用基值系数法便可求出相应的变值函数或基值函数。本法常用于改变函数图象或变换研究层次或方式等，如果变换系数选择适当（如为原有函数的整除因式），则可得到较为简单的新的基值函数表达式，若同时变换坐标系，则可得到较为简单的新的函数图象。如箱面和箱体的高距变值函数除以其自身的高距系数后可得简单的基值函数。

在以上三种求法中，直接推导法的实质属于常规方法，其它两种求法为变值函数所特有，但当变值系数全为1时则同样属于常规方法。由上述求法可知，随着变值系数的不同，同一图象可有不同函数，同一函数也可有不同图象，从而体现了函数与图象的动态对应和因果之间的动态关系等。

2、 变值函数的基本性质

由于变值函数与基值函数同源共生，而等值函数只是变值函数和基值函数的一种特例，故三种函数具有本质上的同一性。在不同函数之间进行运算时，不仅要考虑对应基距是否相同，还应考虑对应变值系数是否相同。按照基距和变值系数是否各自对应相同，可将不同变值函数独立分为同基、异基和同系、异系，二者组合 可得同基同系、同基异系、异基同系和异基异系四种（接左下图）。

上述性质与分数的基本性质相类似，其中的自变量和基距相当于分数的分子和分母。据此性质便可对变值函数适当进行恒等变换（此即变基运算），从而使其某些异基运算得以实现。但应注意，这里的自变量和基距的取值均为坐标单位数，在数值上等于基值坐标，其扩大倍数与基值单位和变值系数的扩大倍数互为倒数。

3、 变值函数的变基运算与通基变换

3.1、变基运算：

变基运算是指改变基值单位或基箱体的基距时对变值函数进行恒等变换的一种运算。由变值函数的基本性质可知，当自变量取值和基距数值同时扩大或缩小TX 倍时其值不变。这里的TX可叫变基系数，通常为一非0常数，据此便可进行变基运算。在变基运算时，既可采用同时扩大，也可采用同时缩小，二者的变基系数互为倒数。若同时扩大，则变基系数=新基距/原基距=原基值单位/新基值单位=原变值系数/新变值系数；若同时缩小，则变基系数为同时扩大时的倒数（常用于通基变换）。变基运算常采用同时扩大（也可采用同时缩小），现以一元和二元为例简述之（接左下二图）。另当变值函数为多元时，其变基运算可仿二元变基运算进行。

3.2、通基变换：

上述变基运算适用于单个变值函数，当为多个不同基距的变值函数（即异基函数）时，若要对其同名自变量在各自基距范围内进行同值同步运算（如对应于有限空间的加减或合并运算等），则应使之变为相同基距的变值函数（即同基函数），这便是通基变换。否则将无法对异基函数的同一自变量进行同值同步运算。通基变换常采用自变量与其基距同时缩小之法（也可采用同时扩大之法）。在通基变换时，需要已知原基距和通基后的统一基距。其中，统一基距常可根据需要进行适当设定（接下面二图）。