定义及背景

纤维化的拓扑单值

单值的例子

定义及背景

单值 (monodromy) 一词最早起源于黎曼 在复变函数论中的多值函数的研究。黎曼为了处理多值函数，诸如 z= √w(平方根函数) 等， 他需要构造一个所谓的“单值性”定义域， 使得原始的多值函数在该定义域上能够变成真正的单值函数。 这种定义域就是所谓的黎曼曲面。从多值复变函数的角度看， 当自变量 w 围绕复平面 上某些特殊点绕一圈后， 因变量 z 将从值域的某个单叶分支进入另一单叶分支--通常不会回到初始点上。这种特殊点叫做支点。 我们也可以把z的这一变化(当w绕支点一圈)叫做单值。

纤维化的拓扑单值

单值的概念被用到纤维化理论中， 是代数几何的重要内容之一。 它反映了奇异纤维附近的拓扑结构。

我们这里以曲面纤维化 为例来解释它。

设 f:X→C 是代数曲面 X 到代数曲线 C 的全纯映射， p∈C 的原像F_p=f^{-1}(p)是奇异纤维。 假设q是充分接近p的一点, γ 是从q出发绕p一周回到q的小环路。 当一个点沿着γ走一圈后， q对应的纤维F_q上的每个点的位置都会发生变化。 严格地讲, γ诱导了F_q到自身的一个同胚映射η: F_q→F_q. 这个映射就叫做h环路γ诱导的拓扑单值.

1991年， Y. Matsumoto 和J. M. Montesinos-Amilibia 给出了纤维芽拓扑单值映射和负定型伪周期映射的共轭类之间的一一对应。

从拓扑单值出发，人们可以诱导奇异纤维的第一同调群H_1(F_q, Z)到自身的同构， 它成为Picard-Lefschetz 单值。 它可以用2g阶的辛矩阵表示。

单值的例子

一个经典的例子是关于椭圆曲线 T_s: y^2=(x^2-s)(x-1). 当s围绕s=0绕一圈后，T_s发生了一个Dehn 扭转。 小平邦彦 给出了关于奇异椭圆纤维的全部单值分类。