单真因子序列

真因子序列和真因子圈的思想可以应用于仅对单因子求和的

情形，从而产生所谓的单真因子序列(unitary aliquot sequence)和

单交际数(unitary sociable number)．当考虑的仅仅是对单因子求

和时，就用σ*(n)和s*(n)来取代对应的函数σ*(n)和s*(n)(与

B3比较)．

是否存在无界的单真因子序列?对此作出估计要比在通常真

因子序列的情形有更高的技巧．仅有的值得认真考虑的序列是包

含6的奇倍数的序列，6既是一个单完全数，也是一个通常的完全

数．如果3‖n，序列趋于增加，但当存在3的高次幂时，序列将减

小，何种情形将起主导作用则是值得研究的问题．一旦序列有一项

是6m(m为奇数)，那么口σ*(6m)就是6的偶倍数，而s*(6m)则

再次是6的奇倍数(除了在m是4的某个奇次幂这种极端罕见的

情形之外)．　　

te Ride致力于寻求n<10^5的所有单真因子序列．仅有的一

个不终止的也即变成周期性循环的序列是89610．此后的计算表

明，它在第568项达到最大值

645 856907 610421 353834=2·3^9·13·19·73·653·3047409443791，

并终止于第1129项．

不到你所期待的素因子个数很大的时候，很难指望会有典型

的性状出现．因为这个数有ln ln(n)这么大，这种序列常会超出计算机的能力范围．对接近10^12的80个序列作检查发现，所有序列都

终止或变成周期性循环的，其中有一个序列超过了10^23．

单亲和数对和单交际数可能比它们的通常的对应物(指亲和

数对和交际数)出现得更加频繁．Lal，Tiller和Sum—

mers发现了周期为1，2，3，4，5，6，14，25，39以及65的圈．单亲和

数对的例子是(56430，64530)和(1080150，1291050)，而(30，42，

54)是一个3—圈，(1482，1878，1890，2142，2178)是一个5—圈．

Cohen找到了62个无穷元亲和数对，

每一对中较小的数均小于一百万，以及8个阶为4的无穷元真因

子圈和3个阶为6的无穷元真因子圈．其他像这样阶小于17且最

小元素小于一百万的仅有的圈是周期为11的圈：

448800，696864，1124448，1651584，3636096，6608784

5729136，3736464，2187696，1572432，895152．

DavidPenney和CarlPomerance提出一种可能是无界的真因

子序列，它基于Dedekind函数.

Erdёs在寻找其迭代可能有界的数论函数时，建议定义ω(n)=

n Σ1/p(i)^a(i)，其中n=Πp(i)^a(i)，而Wk(n)=ω(ω(k-1)(n))．注意

到ω(n)⊥n．是否可以证明Wk(n),k=1，2，…是有界的呢?是

否有序列函数？

Erdёs和Selfridge称n为一个数论函数f(m)的障界(barrier)，如果对所有m<n有m+，f(m)≤n。Eulerqa函数和函数σ(m)增长得太快，因而不可能有障界，但是Ω(m)有无穷多

个障界吗?数2，3，4，5，6，8，9，10，12，14，17，18，20，24，26，28，

30，…都是Ω(m)的障界．n(m)有无穷多个障界吗?Selfridge注

意到99840是Ω(m)的小于10^5的最大的障界．Ma,kowski发现，

对每个函数而言n=1都是一个障界，对每个满足f(1)=1的函

数f(2)来说，2都是一个障界；特别地，对m的因子个数d(m)亦

然．不等式

max{d(n一1)+n一1，d(n—2)十n一2}≥n+2

对n≥7成立，对n=6不成立．但对，n≥3有d(n—1)+n—1≥n+1

故的d（m）没有≥3的障界。

现在计算机还无法算出其解。