基本内容

悖论分析

术语使用

其他

基本内容

几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身：

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

1．L > √3 ,如果：2π/3<α<4π/3, 其发生的概率为1/3

2．L > √3 ,如果 ；│r│<1/2, 其发生的概率为1/2.

（极坐标r向下为负）

3．L > √3 ,如果（x,y）在半径为1/2的圆内，其发生的概率为1/4.

悖论分析

1）由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。

2）由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。

3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

术语使用

实际上，所谓“悖论”一点也不悖。这只是反映了选择不同的坐标会导致不同的概率分配这一事实。至于哪一个分配是“正确”的，决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

就以上悖论而言，造成这种现象的主要是在于条件的限制。若题目中出现“随机”,“均匀分布”,“等可能”这些字眼，则对应着此悖论中1,2.3条的结果。

其他

贝特朗悖论在普通高中中模拟概率时会出现。一般第一种答案（即”1/3“）使用较为广泛。