稠密

稠密集

度量空间中的稠密集

例子

稠密

对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集处处稠密。例如，全体有理数集合就是稠密的，任意接近的两个有理数之间都存在其它的有理数（比如它们的算术平均值）。

稠密集

在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间 X 及其子集 A ，如果对于 X 中任一点 x，x 的任一邻域同 A 的交集不为空，则 A 称为在 X 中稠密。直观上，如果 X中的任一点 x 可以被A中的点很好的逼近，则称 A 在 X 中稠密。

等价地说，A 在 X 中稠密当且仅当 X 中唯一包含 A 的闭集是 X 自己。或者说，A 的闭包是 X ，又或者 A 的补集的内部是空集。

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度量空间中的稠密集

在度量空间(E,d)中，也可以定义稠密集为： A 在 E 的一个子集 X 中稠密当且仅当对于 X 中的任一元素 x ，都存在 A 中的一个元素列，其极限是 x 。

如果 E 是一个完备的度量空间，那么一列在 E 中稠密的开集 的交集 仍然在 E 中稠密。这个结论可以由贝尔纲定理直接推出。

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例子

1.每一拓扑空间是其自身的稠密集。

2.有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。

3.度量空间M是其完备集γM中的稠密集。