贝叶斯分析方法　贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系统地阐述和解决统计问题的方法。一个完全的贝叶斯分析（full Bayesian analysis）包括数据分析、概率模型的构造、先验信息和效应函数的假设以及最后的决策（Lindley，2000）。贝叶斯推断的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合，再根据贝叶斯定理，得出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数 （一）客观贝叶斯分析（objective Bayesian analysis）

将贝叶斯分析当做主观的理论是一种普遍的观点，但这无论在历史上，还是在实际中都不是非常准确的。第一个贝叶斯学家，贝叶斯学派的创始人托马斯·贝斯和拉普莱斯进行贝叶斯分析时，对未知参数使用常数先验分布。事实上，在统计学的发展中，这种被称为“逆概率”（inverse probability）的方法在19世纪非常具有代表性，而且对19世纪初的统计学产生了巨大的影响。对使用常数先验分布的批评，使得杰弗里斯（Jeffreys）对贝叶斯理论进行了具有非常重大意义的改进。伯杰（Berger，1999）认为，大多数贝叶斯应用研究学者都受过拉普莱斯一杰弗里斯（Laplace-Jefferys）贝叶斯分析客观学派的影响，当然在具体应用上也可能会对其进行现代意义下的改进。

许多贝叶斯学者的目的是想给自己贴上“客观贝叶斯”的标签，这种将经典统计分析方法当做真正客观的观点是不正确的。对此，伯杰（1999）认为，虽然在哲学层面上同意上述观点，但他觉得这里还包含很多实践和社会学中的原因，使得人们不得已使用这个标签。他强调，统计学家们应该克服那种用一些吸引人的名字来对自己所做的工作大加赞赏的不良习惯。

客观贝叶斯学派的主要内容是使用无信息先验分布（noninformativeor default prior distribution）。其中大多数又是使用杰弗里斯先验分布。最大嫡先验分布（maximumentropy priors）是另一种常用的无信息先验分布（虽然客观贝叶斯学派也常常使用一些待分析总体的已知信息，如均值或方差等）。在最近的统计文献中经常强调的是参照先验分布（reference priors）（Bernardo 1979；Yang and Bergen 1997），这种先验分布无论从贝叶斯的观点，还是从非贝叶斯的观点进行评判，都取得了显著的成功。

客观贝叶斯学派研究的另一个完全不同的领域是研究对“默认”模型（defaultmodel）的选择和假设检验。这个领域有着许多成功的进展（Berger，1999），而且，当对一些问题优先选择默认模型时，还有许多值得进一步探讨的问题。

经常使用非正常先验分布（improper priordistribution）也是客观贝叶斯学派面临的主要问题，这不能满足贝叶斯分析所要求的一致性（coherency）。同样，一个选择不适当的非正常先验分布可能会导致一个非正常的后验分布，这就要求贝叶斯分析过程中特别要对此类问题加以重视，以避免上述问题的产生。同样，客观贝叶斯学派也经常从非贝叶斯的角度进行分析，而且得出的结果也非常有效。

（二）主观贝叶斯分析（subjective Bayesian analysis ）

虽然在传统贝叶斯学者的眼里看起来比较“新潮”，但是，主观贝叶斯分析已被当今许多贝叶斯分析研究人员普遍接受，他们认为这是贝叶斯统计理论的“灵魂”（soul）。不可否认，这在哲学意义上非常具有说服力。一些统计学家可能会提出异议并加以反对，他们认为当需要主观信息（模型和主观先验分布）的加人时，就必须对这些主观信息完全并且精确地加以确定。这种“完全精确地确定”的不足之处是这种方法在应用上的局限性（Statistician，1998）。

有很多问题，使用主观贝叶斯先验分布信息是非常必要的，而且也容易被其他人所接受。对这些问题使用主观贝叶斯分析可以获得令人惊奇的结论。即使当研究某些问题时，如使用完全的主观分析不可行，那么同时使用部分的主观先验信息和部分的客观先验信息对问题进行分析，这种明智的选择经常可以取得很好的结果（Andrews，Berger and Smith，1993）。

（三）稳健贝叶斯分析（robust Bayesian analysis ）

稳健贝叶斯分析研究者认为，不可能对模型和先验分布进行完全的主观设定，即使在最简单的情况下，完全主观设定也必须包含一个无穷数。稳健贝叶斯的思想是构建模型与先验分布的集合，所有分析在这个集合框架内进行，当对未知参数进行多次推导（elicitation ）之后，这个集合仍然可以反映此未知参数的基本性质。

关于稳健贝叶斯分析基础的争论是引人注目的（Kadane，1984；Walley，1991），关于稳健贝叶斯分析最新进展的文献可参见伯杰（Bergen1985，1994，1996）的研究。通常的稳健贝叶斯分析的实际运用需要相应的软件。

（四）频率贝叶斯分析（frequentist Bayesian analysis ）

统计学存在许多不断争议的学科基础—这种情况还会持续多久，现在很难想像。假设必须建立一个统一的统计学学科基础，它应该是什么呢?今天，越来越多的统计学家不得不面对将贝叶斯思想和频率思想相互混合成为一个统一体的统计学学科基础的事实。

伯杰从三个方面谈了他个人的观点。第一，统计学的语言（language of statistics）应该是贝叶斯的语言。统计学是对不确定性进行测度的科学。50多年的实践表明（当然不是令人信服的严格论证）：在讨论不确定性时统一的语言就是贝叶斯语言。另外，贝叶斯语言在很多情况下不会产生歧义，比经典统计语言更容易理解。贝叶斯语言既可对主观的统计学进行分析，又可以对客观的统计学进行分析。第二，从方法论角度来看，对参数问题的求解，贝叶斯分析具有明显的方法论上的优势。当然，频率的概念也是非常有用的，特别是在确定一个好的客观贝叶斯过程方面。第三，从频率学派的观点看来，基础统一应该是必然的。我们早就认识到贝叶斯方法是“最优”的非条件频率方法（Berger，1985），现在从条件频率方法的角度，也产生了许多表明以上结论正确的依据。

（五）拟（准）贝叶斯分析（quasi Bayesian analysis ）

有一种目前不断在文献中出现的贝叶斯分析类型，它既不属于“纯”贝叶斯分析，也不同于非贝叶斯分析。在这种类型中，各种各样的先验分布的选取具有许多特别的形式，包括选择不完全确定的先验分布（vague proper priors）；选择先验分布似然函数的范围进行“扩展”（span）；对参数不断进行调整，从而选择合适的先验分布使得结论看起来非常完美。伯杰称之为拟（准）贝叶斯分析，因为虽然它包含了贝叶斯的思想，但它并没有完全遵守主观贝叶斯或客观贝叶斯在论证过程中的规范要求。

拟（准）贝叶斯方法，伴随着MCMC方法的发展，已经被证明是一种非常有效的方法，这种方法可以在使用过程中，不断产生新的数据和知识。虽然拟（准）贝叶斯方法还存在许多不足，但拟（准）贝叶斯方法非常容易创造出一些全新的分析过程，这种分析过程可以非常灵活地对数据进行分析，这种分析过程应该加以鼓励。对这种分析方法的评判，不必要按照贝叶斯内在的标准去衡量，而应使用其他外在的标准去判别（例如敏感性、模拟精度等）。

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