定义

性质

自变量为复数时的情形

与其它函数的关系

艾里函数（Ai(x)），英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

y''=xy

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

定义

对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

把:y = Ai(x)求导，我们可以发现它满足以下的微分方程：

y''=xy

因为这个方程有两个线性独立的解，所以，第二个解成为“第二艾里函数”。它定义为当x趋于−∞时，振幅与Ai(x)相等，但相位与Ai(x)相差π/2的函数：

Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

性质

当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))

Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))

而对于负数方向的极限，则有：

Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

自变量为复数时的情形

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)

其中积分路径C从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程y'' − xy = 0来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x^(2/3)，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

与其它函数的关系

当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：-

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在这里，I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' + xy' − (x^2 + 1 / 9)y = 0的解。

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当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：-

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在这里，J±1/3是方程x^2*y'' + xy' + (x^2 − 1 / 9)y = 0的解。

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Scorer函数是y'' − xy = 1/π的解，它也可以用艾里函数来表示：