| 词条 | 斐波那契—卢卡斯数列 |
| 释义 | 定义斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。 一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。 为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如 斐波那契数列：F[1,1]； 卢卡斯数列：F[1,3]； 数列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]； 特别地，常数数列0，0，0…：F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。 别名斐波那契—卢卡斯序列，推广斐波那契数列，推广卢卡斯数列，推广兔子数列等。 斐波那契—卢卡斯数列群任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … F[1,4]n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 … F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 … F[1,4]n-F[1,3]n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … F[1,4]n+F[1,3]n 2 7 9 16 25 41 66 107 173 280 … 斐波那契—卢卡斯数列的性质一些等式f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1 f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4 f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11 f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29 f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76 注意：1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。 黄金特征每一项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，称为黄金特征。 斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1 卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5 F[1，4]数列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11 F[2，5]数列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11 F[2，7]数列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31 斐波那契数列的黄金特征1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]数列和F[2，5]数列的黄金特征是11，黄金特征31的数列除了F[2，7]外，还有F[3，8]，其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是成对出现的，他们都是： 孪生斐波那契—卢卡斯数列利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，写出前面的项，如下表：
F[1,1] 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 1 F[1,3] -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 5 F[1,4] -19 12 -7 5 -2 3 1 4 5 9 14 23 11 F[2,5] -14 9 -5 4 -1 3 2 5 7 12 19 31 11 我们发现：斐波那契—卢卡斯数列与分数对应： F[1，1]的正负项绝对值相等，第0项为0，对应于整数。 F[1，3]的正负项绝对值也相等，第0项为2，第1项为1，对应于分数1/2。 而F[1，4]的正项绝对值与F[2，5]的负项绝对值相等，F[2，5]的正项绝对值与F[1，4]的负项绝对值相等，而且，他们的第0项都是3，第1项分别是1和2，所以他们对应互补的分数1/3和2/3，这样的数列就是孪生斐波那契—卢卡斯数列。每一对互补的分数（如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都对应一对孪生斐波那契—卢卡斯数列。 黄金阵列经过对斐波那契—卢卡斯数列和黄金特征、黄金比例的研究，我把自然数排列为如下的黄金阵列： 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 … 4 6 10 16 26 42 68 … 7 11 18 29 47 76 … 9 15 24 39 63 … 12 19 31 50 81 … 14 23 37 60 97 … 17 28 45 73 … 20 32 52 84 … 22 36 58 94 … 25 40 65 … 27 44 71 … 30 49 79 … 33 53 86 … … 第二排，最小缺4，4*1.618取整6——4，6，10，16… 第三排，最小缺7，7*1.618取整11——7，11，18，29… 以此类推。 第1列的经验公式：[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整数部分。 黄金阵列具有以下性质： 1）各斐波那契—卢卡斯数列都出现一次（常数数列0，0，0…除外） 2）每一个同一列的数，与黄金比例之积，与整数的距离差不多。 每一个数的列数，我们可乘之为该数的黄金阶数。 前10个数的黄金阶数分别是1，2，3，1，4，2，1，5，1，3。 前10个黄金阶数5阶或5阶以上的数分别是8，13，21，26，34，42，47，55，63，68，他们之间两两相差5或8，我们称之为真金数。 黄金阶数为1的数，不是在真金数的两边（如8的两边7和9），就是在相差8的2个真金数中间（如13和21之间的17）。 |
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