棣莫弗(de Moivre)原理(棣莫弗(de Moivre)定理 解析 棣莫弗定理的推广 解析)

棣莫弗简介(1684年 1685年 1692年)

棣莫弗(de Moivre)原理

棣莫弗(de Moivre)定理

设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:

Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

解析

证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+bi.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

其实该定理可以推广为一般形式:

棣莫弗定理的推广

设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 则：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].

解析

证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]

如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,

Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)

这和指数的可加性一致.

在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.

棣莫弗简介

棣莫弗，A．(De Moiver，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学． 棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯(Huygens)关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》(Deratiociniis in ludo aleae)一书，启发了他的灵感．

1684年

1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆(Ozanam)．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得(Enclid)的《几何原本》(Ele-ments)及其他数学家的一些重要数学著作．

1685年

1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来．正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销．随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦．但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的．

抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到I．牛顿(Newton)刚刚出版的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究．

1692年

1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷(Halley)，哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．

棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》(The doctrine of chances)呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏．据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员．

棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．