在物理学里，作用量是一个很特别，很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程方法大不相同，我们也可以用作用量来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。我们只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态。然后，经过求解作用量的极值，我们可以得到系统在两个点之间每个点的状态。

历史

概念

作用量形式(作用量 (泛函) 简略作用量 (泛函) 哈密顿主函数 哈密顿特征函数 哈密顿-雅可比方程解答 作用量-角度坐标 哈密顿流作用量)

数学导引

历史

费马于 1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。

莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。

1744年，皮埃尔·路易·莫佩尔蒂在一篇论文 《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》 中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值； 他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文 《On the laws of motion and of rest》 中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。

莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文 《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是 。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到有心力作用时，正确的抛射体运动。

在此以后，许多物理学家，包括拉格朗日、哈密顿、理查德·费曼、等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。

概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变量的变化，一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变量在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变量在任何点的数值。

作用量方法是一种全然不同的方法．它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变量在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量极值的演算，我们可以得到，此变量在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程，也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或引力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的极值（通常是最小值）,可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何微扰必须是稳定的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。

作用量形式

在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。

作用量 (泛函)

最常见的作用量是一个泛函 ，输入值是时间与空间的函数，输出值是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 ， 之间广义坐标 的演变。

作用量 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量 随时间的积分：

。 根据哈密顿原理，正确的演化 要求平稳的作用量 （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。

简略作用量 (泛函)

简略作用量也是一个泛涵，通常标记为 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀引力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都不相依于粒子的移动的速度。简略作用量 定义为广义动量 延著路径的积分：

； 其中， 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量 是平稳的。

哈密顿主函数

主条目：哈密顿主函数。 哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学地另一种表述。哈密顿主函数 与泛涵 有密切的关系。固定住初始时间 和其对应的坐标点 ；而准许时间上限 和其对应的坐标点 的改变。取 和 为函数 的参数。换句话说，作用量函数 是拉格朗日量随时间的不定积分：

。 更加地，我们可以证明 是某常数矢量 。所以，

。

哈密顿特征函数

主条目：哈密顿特征函数。 假若，哈密顿量 是守恒的；

； 其中， 是常数。

设定哈密顿特征函数 为

。 则哈密顿特征函数 是一个作用量。

更加地，

。 随时间积分：

。 这正是简略作用量的方程。

哈密顿-雅可比方程解答

主条目：哈密顿-雅可比方程。 哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数 分出的每一个项目 也称为"作用量"。

作用量-角度坐标

主条目：作用量-角度坐标。 思考一个作用量-角度坐标的广义动量变量 ，定义为在相空间内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分：

。 这变量 称为广义坐标 的作用量；相应的正则坐标是角度 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量；这里，只有一个标量变量 被用来积分。作用量 等于， 随着 沿着闭路径， 的改变。应用于几个有趣的物理系统， 或者是常数，或者改变非常地慢。因此， 时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。

哈密顿流作用量

参阅 重言1形式。

数学导引

哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 、 的运动是正确运动，则作用量泛函 的一次变分 为零。用数学方程表示，定义作用量为

。 其中， 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 是时间的函数。

假若， 乃系统的正确运动，则 。

从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设 是系统的正确运动，让 成为一个微扰 ；微扰在轨道两个端点的值是零：

。 取至 的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为

。 这里，我们将拉格朗日量 展开至 的一阶微扰。

应用分部积分法于最右边项目，

。 边界条件 使第一个项目归零。所以，

。 要求作用量泛函 平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零：

。 请注意，我们还没有对广义坐标 做任何要求。现在，我们要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程：

。 在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

对应于广义坐标 的广义动量 ，又称为正则动量，或称为共轭动量，定义为

。 当 不显性地相依于广义坐标 时，

， 则广义动量 是常数。在此种状况，坐标 称为循环坐标。举例而言，如果我们用极坐标系 来描述一个粒子的平面运动，而 与 无关，则广义动量是守恒的角动量。