词条 | 最值定理 |
释义 | 数学的基本公式之一,其表达为 已知X,Y都为正数,则 __ 积XY为定值P时,当X=Y,X+Y有最小值2√P 和X+Y为定值S时,当X=Y,XY有最大值1/4S^2 函数的最值定理 若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值与最小值 证明 先证明其有界,(应用致密性定理)倘若f在[a,b]上无界,则对任意正整数n,存在Xn∈[a,b],使得f(Xn)>n。依次取n=1,2…,则得到数列{Xn}([a,b]。由致密性定理,它含有收敛子列{Xnk},记lim(k→∞)Xnk=ξ。 由a≦Xnk≦b及数列极限的保不等式性,ξ∈[a,b]。利用f在点ξ连续,推得lim(k→∞)f(Xnk)=f(ξ)<+∞ 另一方面,由Xn的选取方法又有f(Xnk)>nk≥k→+∞即lim(k→+∞)f(Xnk)=+∞。 这与上式矛盾,所以,f在[a,b]有上界,类似可证明其有下界。 因为f在[a,b]上有上界,故由确界原理,f的值域f([a,b])有确界,记为M。 若不存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=M,则设:g(x)=1/(M-f(x)),x∈[a,b] 易见函数g在[a,b]上连续,故g在[a,b]上有上界。设G是g的一个上界,则0<g(x)=1/(M-f(x))≤G,x∈[a,b] 从而推得f(x)≦M-1/G,x∈[a,b]。 但这与M为f([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾。所以必存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=M,即f在[a,b]上有最大值,同理证明有最小值 函数如图的最值可这样讨论: 将f(x)看做tanα,α的值为点(-b,-a)与g(x)的图像的任意一点的连线与射线 y=-a (x>=-b)的夹角。 |
随便看 |
百科全书收录4421916条中文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。