词条 | 最小正周期 |
释义 | 基本概念如果一次函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(minimal positive period).例如,正弦函数的最小正周期是2π. 根据上述定义,我们有: 正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π。 y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω 算法实例函数f(x)±g(x)最小正周期的求法 定义法例1求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 解:∵ =|sinx|+|cosx| =|-sinx|+|cosx| =|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)| =|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)| =f(x+π/2) 对定义域内的每一个x,当x增加到x+π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2. 公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|w| ,正余切函数T=π/|w|. 例2求函数y=cotx-tanx的最小正周期. 解:y=1/tanx-tanx=(1-tan^2· x)/tanx=2*(1-tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x ∴T=π/2 最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数 例3求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期. 解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=2π/3,T2=2π/5 ,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π. 例4求y=sin3x+tan 的最小正周期. 解:∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π. ∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π. 图象法例5求y=|sinx|的最小正周期. 解:由y=|sinx|的图象 可知y=|sinx|的周期T=π. |
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