斯科特在《数学史》中记载：狄奥芬塔斯是托勒密之后亚历山大里亚城中出现的又一位重要数学家。 据说他是代数学的创始人之一。但狄奥芬塔斯有个弱点：对有两个根的二次方程，他只能得到一个根。

狄奥芬塔斯-理论评价

没人知道他为什么会无视那另一个根，这个舍弃过程是神秘的，就好像一个简单的心理测试：“立刻说出心中的那个数！”

人们认为狄奥芬塔斯解题的思路毫无规律可循，汉科尔说：“对于现代人来说，学习了他的100个方程以后，也仍然难得解出第101个方程……”。

而按照通用的规律解法，对一个有二根的方程，我们一定会同时得到这两个根，但只在最后一刻，我们才站在这分岔路口，得出结果之前，我们的道路是惟一的——到达这二根的路线是重合的——而不需计算两遍——像双头蛇的头一样，两个根到最后关头才裂开。

但由于狄奥芬塔斯个人思路的怪异，这两条路径竟然没有重合，在求一个根的时候，他没有遇到另一个。这种孤独是个奇迹。犹如一个莽撞的瞎子横穿街道却一直没有遭遇车祸，或是在熙熙攘攘的朝圣路上梦游般地踽踽独行。

该算法中的神性是我无法谈论的，我不算懂数学，我只从外部谈论它。以我的个人经验：如果我在做一个明显有多解的数学题时只得出一个值，那一定是出了问题——我会立刻仔细检查，看是从哪个环节开始丧失了这种丰富性。

斯科特在《数学史》中说：“欧几里德所认识到的惟一的圆锥体乃是直圆锥体”。所以欧几里德毕生只研究了圆锥体中的一种特殊情况，而由于他一辈子都没检查出这一缺陷，这一缺陷也成了他的圆锥曲线几何学的“不良基础”。

虽然对欧几里德来说，“直圆锥体”的确是具备普遍意义的，因为他对圆锥体的印象其实就是“直圆锥体”，这是偏狭的成见——对自然界来说，“直圆锥体”是没有特权的，仅仅更美些，仅仅只是一个方程众多根中的一个。

不过欧几里德的支持者一直想使这种“个体研究”变为真正的知识—— “知识”的重要特性是“必须对他人多少有点参考价值”，像自传一样，不该只有特殊经历的炫耀，更要于细微处呈现人类的共性——在这个问题上我坚持“一元论”，即能从个体生活推导出其他一切生活，而非在求一个根时看不见另一个。一元论把世界看成一本大书，而不是一堆中断的小书。这也为《我们仨》这类“私人化”作品的公共价值以及欧几里德明显“以偏概全”的研究提供了辩护。

欧几里德学说的参考价值也许在于，只要把所有圆锥体都看成“有误差”的直圆锥体就有可能利用它来解决普遍问题。而高中我学到，三角函数运算的基础就是假定特殊角的函数值已知。在生活的集合中，既然只有“自我”这种特殊项是已知的，那么不妨让一切向它靠齐，“自我”总是想象的起点。

无论如何，与狄奥芬塔斯对方程根的直觉一样，欧几里德研究的出发点也只是错觉——数学研究中的某些内容的确起于古代数学家一时蒙昧的“自我成见”：比如对某一个特定的方程，狄奥芬塔斯心中抱定它只有一个确定值的念头，又比如，欧几里德只知道一种圆锥体——这也好比是相信，“自然界只有正整数”。

这的确是某些民族数学研究开端时迅速确立过而又被很快推翻掉的“定理”。作为一种临时的谬误，这样的错觉启动了古代数学研究。

不过错觉并非是错误，它只不过不是本质罢了——它只不过是我们最明显可感的东西－－与其他知识一样，数学研究的起点也并不是数学的起点，而是日常生活最直接、最自然的印象。

对古希腊人来说，几何似乎比代数更接近自然的印象，希腊人先在自然中找到几何图形以及立方体，然后再试图用算术来建立几何学的模型。古希腊数学的起点是为明显可感知的几何形态进行尺规作图的工作。

而古罗马代数学的起点是人口统计——因此，据说它拒绝运用小数这一概念。

对许多民族的数学史来说，小数都没有成为研究的起点，小数是“不自然的”，它显示自然被人为地“分割”了，开始时人们尽力回避它，直到开方运算的出现……正是小数打开了“无穷小”这种诡辩的潘多拉之盒，它将基本单位分割了，因此，芝诺的乌龟永远也爬不到，因为路途被无限分割了。

古希腊人希望路途没有中点——一切旅行的研究对“半路上会发生什么”都应忽略不计，小数以及分数都是虚构的，自然应被“整除”——前智者学派时期的整个古希腊知识界都只是在塑造美的模型，而非解释自然，而对他们来说，“除不尽”、“求方根产生了无理数”等数学现象以及不规则的几何体都象征着破坏。

而就我小时候的体验，当小数的概念在我心目中确立后，我就把一切整数都看成是除法蹂躏后的结果，再也没有不带创伤的数了。

在我接受小数之前，我甚至没想到要关心一下一个整数的内部会发生什么——人看起来无法到达一个数的内部，人只是从一个整数跳到下一个整数，正如牛顿是如此形容“极限”有多难捕捉的：“当物体还没有到达这个地点时其速度不是最终速度，而当它已经到达时，又什么都没有了……”

这就好比乘火箭上班，你永远也无法停在想停的地方。你总是走过了。

这时候我仍要重提弗兰克·克默德在那本小册子《结尾的意义》中的精彩发现：世界上的故事大都是从中间讲起的，科学研究也是如此，科学研究也是从中间开始，而不是从科学真正结构上的起点开始。

我们从表象出发，向两个方向拓展研究。一是继续将故事发展下去；一是追溯故事的起源。

数学研究从正整数以及简单几何概念出发，在一个方向上进行渐趋复杂的构造：从整数到分数，实数，复数；从加法和乘法到微分和积分，一直到更高深的结构；另一方面，是“由分析我们所暂时肯定的基本概念和命题，而进入愈来愈高的抽象和逻辑的单纯。”

“追溯”比“发展”的研究更难把握，后者实际上是一种轻率的行为，因此要流畅得多：公式的繁衍，更复杂的计算以及数学在物理学、经济学、社会学等其他领域中放肆地运用……数学给人印象中的世俗丰富性也多表现于此。相比之下，追溯过程，或者说怀疑的过程——也即“数理哲学”，是举步维艰的，到头来你几乎不敢进行最简单的计算，与之相媲美的还有维特根斯坦在语言方面的研究，它几乎让人再也不敢开口说话