我国古代数学祖暅是5世纪末、6世纪初的人，是著名数学家祖冲之的儿子．他提出了祖暅定理，并用这个定理求得球体积的计算公式．在欧洲，直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列利提出这个定理，他也没有加以证明，但比祖暅晚了一千多年．祖暅定理的严格证明，要用到积分的知识．

祖暅定理原文为：幂势既同，则积不容异。也就是“等高处横截面积常相等的两个立体，其体积也必然相等。”即夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

祖暅定理与球体积证明：

图1是 球体，用 表示球体积．图2是 “牟合方盖”，用 表示“牟合方盖”体积．“牟合方盖”是一个特殊立体，是以 为直径的两个圆柱轴线垂直且相交而形成的．图3是以 为棱的正方体挖去一个倒立的阳马，用 表示其体积．

若用平行于底且相距为 的平面去截上述三个立体，所得截面面积分别为：

， ， ．

因为 ， ，

所以 ， ．

但从 可推得 ．

上述推算过程实际上图1起了桥梁作用，亦可从图3和图2直接推出：

因为 ，得 ．

所以由 就可推得 ．

祖暅在推算过程所应用的原理，西方叫卡瓦列利原理，因卡氏于公元1635年在《连续不可分量几何》里提出的，而这比祖冲之父子晚1100多年．因而我们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当．下面给出祖暅定理的两个推论，并利用原理及推论求椭圆的面积、椭球体的体积和环体体积．

推论1 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积比总为 ，那么这两个几何体的体积之比亦为 ，

推论2 夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得的两条线段之比总为 ，那么这两个平面图形的面积之比亦为 ．

问题1 求椭圆 的面积．

解 如图4，圆 方程为 ．作沿平行于 轴方向均匀压缩变换 代入圆 方程就得椭圆方程．由于椭圆与圆都夹在两条平行线 与 之间，且 ，由推论2得

，

所以 ．

问题2 如图3，求以 轴为旋转，椭圆 为母线旋转生成的几何体体积．

解 以 为半径的圆面积为 ，以 为半径的圆面积为 ，则由推论2，得

，由推论1得 ，

所以 ．

一个圆绕同一平面内与它不相交的一条直线旋转形成的旋转面叫做环面，环面所围成的几何体叫做环体．

问题3 设圆 半径为 ，圆 绕它所在平面上与它不相交的直线 旋转，设点 到 的距离为 ，试求旋转所成的环体体积．

解 取一个底面半径为 高为 的圆柱和环体都平放在平面 上，则环体和圆柱都夹在两个平行平面之间．

用平行平面 的任意平面去截环体和圆柱，截面分别为圆环面和矩形面．设过圆 的圆心 及圆柱中心线且与 平面平行的平面 ，如果截平面与平面 的距离为 ，则截环体的得圆环面的外径为 ，内径为 ；截圆柱所得矩形的宽为 ，长为 ，

所以 圆环面积 ，

矩形面积 ．

所以 ．

依祖暅原理， ，即

．