自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。

综述

一、统计学和计量经济学

二、物理学(质点自由度 刚体自由度 分子自由度 热力学自由度)

三、工程机械(机构自由度 平面机构自由度： 空间机构自由度： 自由度的计算：)

四、电子游戏

综述

“自由度”（degrees of freedom, df）是在统计学，物理学，工程机械中的基本知识，通常用于抽样分布中。而电子游戏中也有自由度这个概念。

一、统计学和计量经济学

统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时， 样本中独立或能自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。 统计学上的自由度包括两方面的内容：

首先，在估计总体的平均数时，由于样本中的 n 个数都是相互独立的，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据，所以其自由度为n。

在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要n-1个数的离差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n个数的值也就确定了。这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。

例如，有一个有4个数据(n=4)的样本, 其平均值m等于5,即受到m=5的条件限制, 在自由确定4、2、5三个数据后, 第四个数据只能是9, 否则m≠5。因而这里的自由度υ=n-1=4-1=3。推而广之,任何统计量的自由度υ=n-限制条件的个数。

其次，统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有p个参数需要估计，则其中包括了p-1个自变量（与截距对应的自变量是常量1）。因此该回归方程的自由度为p-1。

这个解释，如果把“样本”二字换成“总体”二字也说得过去。

在一个包含n个个体的总体中，平均数为m。知道了n-1个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。为什么总体方差计算，是除以n而不是n-1呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以知道总体个数n时方差应除以n，除以n-1时是方差的一个无偏估计。

二、物理学

完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标的数目，叫做这个物体的自由度。力学系统由一组坐标来描述。

据热力学中的能量均分定理，每个自由度的能量相等（当然没考虑量子效应啦），都为Tk/2（振动包括动能和势能，所以振动能量为（Tk/2）*2），单原子分子仅有3个平动自由度，所以为3Tk/2，非刚性双原子分子有3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度，所以为（3+2+1*2）Tk/2，非刚性三原子分子有3个平动自由度，3个转动自由度，3个振动自由度所以为（3+3+3*2）Tk/2，刚性分子不用考虑振动，一般非刚性分子有3*n个自由度,3个平动自由度,3个转动自由度,（n为原子个数，n>2）,所以有3n-6个振动自由度。不能说每个分子的能量都是iTk/2，这是统计规律。

质点自由度

（1）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（x，y，z）确定其位置。所以自由质点有三个平动自由度 i = 3。

（2）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。如质点被限制在平面或曲面上运动，则 i= 2；如果质点被限制在直线或平面曲线（不是空间曲线）上运动，则其自由度 i = 1。

刚体自由度

一个刚体在空间任意运动时，可分解为质心 O’ 的平动和绕通过质心某直线的定点转动，它既有平动自由度还有转动自由度。确定刚体质心O’的位置，需三个独立坐标（x，y，z）—自由刚体有三个平动自由度 t = 3；

确定刚体通过质心轴的空间方位──三个方位角（α，β，γ）中只有其中两个是独立的──需两个转动自由度；另外还要确定刚体绕通过质心轴转过的角度θ──还需一个转动自由度。这样，确定刚体绕通过质心轴的转动，共有三个转动自由度 r = 3。所以，一个任意运动的刚体，总共有6个自由度，即3个平动自由度和3个转动自由度，即i = t + r = 3 + 3 = 6

分子自由度

自由度是物体运动方程中可以写成的独立坐标数，单原子分子有3个自由度，双原子，三原子不考虑振动相当于刚体，分别有5个（3平2转）、6个自由度（3平3转），考虑振动后，双原子加1个，三原子加2个。

（1）单原子分子：如氦He、氖Ne、氩Ar等分子只有一个原子，可看成自由质点，所以有3个平动自由度 i = t = 3。

（2）刚性双原子分子如氢 、氧 、氮 、一氧化碳CO等分子，两个原子间联线距离保持不变。就像两个质点之间由一根质量不计的刚性细杆相连着（如同哑铃），确定其质心O’的空间位置，需3个独立坐标（x，y，z）；确定质点联线的空间方位，需两个独立坐标（如α，β），而两质点绕联线的的转动没有意义。所以刚性双原子分子既有3个平动自由度，又有2个转动自由度，总共有5个自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。

（3）刚性三原子或多原子分子: 如 H2O 、氨 等，只要各原子不是直线排列的，就可以看成自由刚体，共有6个自由度，i = t + r = 3 + 3 = 6。

(4)　对于非刚性分子，由于在原子之间相互作用力的支配下，分子内部还有原子的振动，因此还应考虑振动自由度（以S 表示）。如非刚性双原子分子，好像两原子之间有一质量不计的细弹簧相连接，则振动自由度 S = 1。

一般在常温下，气体分子都近似看成是刚性分子，振动自由度可以不考虑。

力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点的三维空间中的运动，在笛卡尔坐标系中，由x，y，z三个坐标来描述；或者在球坐标系中，由r，θ，φ三个坐标描述。描述系统的坐标可以自由的选取，但独立坐标的个数总是一定的，即系统的自由度。一般的，N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。但力学系统中常常存在着各种约束，使得这3N个坐标并不都是独立的。对于N个质点组成的力学系统，若存在m个约束，则系统的自由度为S = 3N − m

热力学自由度

热力学中，自由度 F 是当系统为平衡状态时，在不改变相的数目情况下，可独立改变的因素（如温度和压力），这些变量的数目叫做自由度数。例如，液态水系统，可以再一定范围内任意改变温度和压力，仍可保持单相的水不变，则该系统的自由度为2，记作F = 2。若系统是液态水与水蒸气平衡共存，如果指定温度，则系统压力必须等于该温度下的水的饱和蒸汽压，否则系统中汽、液两相就会有一相消失，这时压力并不能任意选择，故自由度数为1，即F = 1。也就是说，若系统保持汽-液共存的相态不变，温度和压力两者中只能任意变动一个。因此自由度数实际上是系统的独立变量数。

系统的自由度跟其他变量的关系

F = C - P + n

其中 F：表示系统的自由度

C ：系统的独立组元数（number of independent component）

P ：相态数目

n ：外界因素，多数取n=2，代表压力和温度；对于熔点极高的固体，蒸汽压的影响非常小，可取n=1。

三、工程机械

机构自由度

根据机械原理，机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目（亦即为了使机构的位置得以确定，必须给定的独立的广义坐标的数目），称为机构自由度（degree of freedom of mechanism），其数目常以F表示。如果一个构件组合体的自由度F>0，他就可以成为一个机构，即表明各构件间可有相对运动；如果F=0，则它将是一个结构（structure），即已退化为一个构件。机构自由度又有平面机构自由度和空间机构自由度。

平面机构自由度：

一个杆件（刚体）在平面可以由其上任一点A的坐标x和y，以及通过A点的垂线AB与横坐标轴的夹角等3个参数来决定，因此杆件具有3个自由度。

空间机构自由度：

一个杆件（刚体），在空间上完全没有约束，那么它可以在3个正交方向上平动，还可以以三个正交方向为轴进行转动，那么就有6个自由度。

自由度的计算：

约束增加，自由度就减少，机构的自由度为组成杆件自由度之和减去运动副的约束。

四、电子游戏

在当今时代的电子游戏中，也有自由度这个概念，在高自由度的游戏中，玩家可以不必一定要按照规定的路线进行。

角色扮演游戏是自由度最高的电子游戏，玩家操作人物在地图中可以向各个方向前进、做事，受到的拘束很少。