中国古代解一次不定方程的一种方法

鸡兔同笼问题

百鸡术在世界上流传很广泛

中国古代解一次不定方程的一种方法

南北朝时的数学著作《张丘建算经》（约成书于5世纪,后收入《算经十书》）

卷下最末一题为：“今有鸡翁一直钱五，鸡母

直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何”。史称“百鸡问

题”。这是一个一次不定方程组。关于这一问题的解法，原书仅有“鸡翁每增四，鸡母每减

七，鸡雏每益三”的简单术文,并列出全部正整数答案(4,18，78)、(8，11，81)和

(12，4，84),至于“增四”、“减七”、“益三”的根据则没有叙述。传本《张丘建

算经》附有北宋谢察微的术草，其方法纯属偶然。

北周甄鸾在《数术记遗》的注文中列举两道百鸡问题及各一组解，作为“计数”

（即心算）的实例，对其算理则未深究。

鸡兔同笼问题

南宋杨辉在《续古摘奇算法》(1275)中提到两种解法，他声称一种出于《辩古根

源》、一种出于另一佚名写本（二书均已失传）；第二种解法乃先固定某一未知数，

此将百鸡问题化为“鸡兔同笼问题”，相当于求解二元一次方程组。

清代学者研究百鸡问题的很多，其中较突出的是骆腾凤、丁取忠和时曰醇。骆腾

凤在《艺游录》(1815)中提出了一个十分巧妙的解法：先由题设方程组消去z,得

7x+4y=100,两边同除以7,又得4y呏2(mod7)；另一方面，因有4y呏0(mod4)，于是得一

“今有物不知数(4y),以七除之，余二；以四除之，恰尽”的问题，可由“大衍求一

术”（见孙子剩余定理）解决。丁取忠《数学拾遗》(1851)的解法与杨辉所记第二

法类似，只是他先假定鸡翁无，求得鸡母数25，鸡雏数分析 75,；若再由z加

3，y减3，则鸡数不会变,而钱数则少8；又因为鸡翁的单价比鸡母的单价多2，可以设

想再将 4只鸡母换成4只鸡翁,那么总的鸡数和钱数都不变,这样就解释了“增四”、

“减七”、“益三”的道理，并得出第一组解 (4，18,78)。时曰醇综合骆、丁二氏的

解法,作《百鸡术衍》(1861)，使这一古老问题灿然大著。

百鸡术在世界上流传很广泛

印度的摩诃毗罗（9世纪）、婆什迦罗第二（12世

纪）、埃及的阿布·卡米尔（9世纪）、意大利的L.斐波那契 (13世纪)以及阿拉伯

的卡西（15世纪）的著作中有类似的问题，它又是中外数学交流的一个重要线索，在

中世纪世界数学史上有着特殊的意义。